Формула полной вероятности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
'''Формула полной вероятности''' позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью.
+
'''Формула полной вероятности''' позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью. Формула поллной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:
 +
 
 +
''Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?''
  
 
==Теорема==
 
==Теорема==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
[[Мощность множества | Не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1, B_2, ..., B_{n} </tex>, таких что:
+
'''Полной системой событий''' назвается [[Мощность множества | не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1, B_2, ..., B_{n} </tex>, таких что:
 
# все события попарно несовместны: <tex> \forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_{i} \cap B_{j} = \varnothing </tex>
 
# все события попарно несовместны: <tex> \forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_{i} \cap B_{j} = \varnothing </tex>
 
# их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega </tex>
 
# их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega </tex>
Строка 16: Строка 18:
 
Вероятность события <tex> A~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex> B_1, B_2, ..., B_{n} </tex>, образующих
 
Вероятность события <tex> A~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex> B_1, B_2, ..., B_{n} </tex>, образующих
  
полную группу, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.
+
полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.
  
 
<tex> {P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i) </tex>  
 
<tex> {P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i) </tex>  
Строка 27: Строка 29:
 
</tex>
 
</tex>
  
События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> попарно несовместны, значит и события <tex> (A\cap B_{i}) </tex> тоже несовместны. Тогда после применения теоремы о сложении вероятностей несовместных событий, а также воспользовавшись определением условной вероятности, получаем:
+
События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> попарно несовместны, значит и события <tex> (A\cap B_{i}) </tex> тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем:
  
 
<tex>  
 
<tex>  
Строка 35: Строка 37:
 
}}
 
}}
  
==Пример==
+
==Примеры==
'''Условие.''' Имеются 3 одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй {{---}} 2 белых и 5 чёрных, а в третьей {{---}} 10 чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
+
'''I. Условие.''' Имеются 3 одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй {{---}} 2 белых и 5 чёрных, а в третьей {{---}} 10 чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
  
 
'''Решение.''' Будем считать события <tex> B_1, B_2, B_3 </tex> выбором урны с соотвествующим номером, а событие <tex>A</tex> {{---}} выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:
 
'''Решение.''' Будем считать события <tex> B_1, B_2, B_3 </tex> выбором урны с соотвествующим номером, а событие <tex>A</tex> {{---}} выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:
Строка 53: Строка 55:
 
</tex>
 
</tex>
  
==Метод фильтрации спама==
+
'''II.''' Рассмотрим пример из введения.
При проверке письма вычисляется вероятность того, что оно {{---}} спам. Для каждого слова эксперементально подсчитывается его ''вес'' {{---}} процент содержания этого слова в письмах, отмеченных пользователем, как спам. Тогда ''весом'' письма является среднее ''весов'' всех его слов. Таким образом, программа(анти-спам бот) считает письмо спамом, если его ''вес'' больше какой-то заданной пользователем планки (обычно 60-80%). После вынесения решения о полученном письме происходит пересчёт в базе данных весов слов, составляющих текст письма. Почтовый фильтр, основанный на такой системе, называется ''байесовским.''
+
 
 +
'''Решение.''' Обозначим за событие <tex> A </tex> {{---}} выбрана деталь отличного качества, тогда событие <tex> B_i </tex> {{---}} выбранная деталь изготовлена в ''i'' цехе (где <tex> i ~=~ 1,2,3 </tex>).
 +
 
 +
<tex>
 +
{P}(B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{10}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{4},~
 +
{P}(B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{25}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{5}{8},~
 +
{P}(B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{5}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{8}.  
 +
</tex>
  
Недостаток метода заключается в том, что он основан на предположении, что одни слова чаще встречаются в спаме, а другие {{---}} в обычных письмах. Таким образом, если данное предположение неверно, то метод неэффективен.
+
По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:
  
'''Замечание.''' Если 80% писем, содержащих фразу <tex>"</tex>Привет :) Как дела?)<tex>"</tex>, являлись спамом, то и следующее письмо с этим словосочетанием c большой вероятностью {{---}} спам.
+
<tex>  
 +
{P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~
 +
{P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}.
 +
</tex>
 +
 
 +
Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:
 +
 
 +
<tex>  
 +
{P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775
 +
</tex>
  
 
==См. также==
 
==См. также==

Версия 00:36, 13 января 2012

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события [math] A [/math] через вероятности его произойти при выполнении гипотез с заданной вероятностью. Формула поллной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:

Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Теорема

Определение:
Полной системой событий назвается не более чем счётное множество событий [math] B_1, B_2, ..., B_{n} [/math], таких что:
  1. все события попарно несовместны: [math] \forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_{i} \cap B_{j} = \varnothing [/math]
  2. их объединение образует пространство элементарных исходов: [math]P(B_{i})~\gt ~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega [/math]

В этом случае события [math]B_i[/math] ещё называются гипотезами.

Теорема (формула полной вероятности):
Вероятность события [math] A~\subset ~\Omega [/math], которое может произойти только вместе с одним из событий [math] B_1, B_2, ..., B_{n} [/math], образующих

полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.

[math] {P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i) [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как события [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] образуют полную группу, то по определению событие [math] A [/math] можно представить следующим образом:

[math] A~=~A \cap \Omega ~=~ A \cap \big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} B_{i} \big) ~=~ \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) [/math]

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] попарно несовместны, значит и события [math] (A\cap B_{i}) [/math] тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем:

[math] {P}(A)~=~{P}\Big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) \Big) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A\cap B_i) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A \mid B_i){P}(B_i) [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

I. Условие. Имеются 3 одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй — 2 белых и 5 чёрных, а в третьей — 10 чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?

Решение. Будем считать события [math] B_1, B_2, B_3 [/math] выбором урны с соотвествующим номером, а событие [math]A[/math] — выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:

[math] {P}(B_1)~=~{P}(B_2)~=~{P}(B_3)~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} [/math]

Теперь найдём вероятность события [math]A[/math] при выборе каждой урны:

[math] {P}(A \mid B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {P}(A \mid B_3) = 0. [/math]

В результате получаем [math] {P}(A) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238 [/math]

II. Рассмотрим пример из введения.

Решение. Обозначим за событие [math] A [/math] — выбрана деталь отличного качества, тогда событие [math] B_i [/math] — выбранная деталь изготовлена в i цехе (где [math] i ~=~ 1,2,3 [/math]).

[math] {P}(B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{10}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{4},~ {P}(B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{25}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{5}{8},~ {P}(B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{5}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{8}. [/math]

По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:

[math] {P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~ {P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}. [/math]

Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:

[math] {P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775 [/math]

См. также

Источники