Изменения

'''Формула полной вероятности''' (англ. ''law of total probability'') позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности событию <tex> A </tex> его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример: {{Задача|definition = Из <tex>40</tex> деталей <tex>10</tex> изготовлены в первом цехе, <tex>25</tex> {{---}} во втором, а остальные {{---}} в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью <tex>0.9</tex>, второй цех {{---}} с вероятностью <tex>0.7</tex>. Какова вероятность этих ''гипотез''.того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?}}

'''Полной системой событий''' называется [[Мощность множества | Не не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1, \ B_2, ...\ \dots, B_n \ B_{n} </tex>, таких что:* # все события попарно несовместны: <tex> \forall i,~\ j = 1, \ 2, ...\ \dots, \ n~B_i \ B_{i} \cap B_j B_{j} = \varnothing </tex>* # их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_iB_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...\ \dots ~\cup ~B_n = \Omega </tex>

{{Теорема| about = формула полной вероятности| statement = Вероятность события <tex> A ~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex>B_1, B_2, \{B_i\}_{i=1}^dots, B_{n} </tex>, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события <tex> A </tex>.образующих

<tex> {P}(A) =\sum\limits_{i=Доказательство=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i) </tex> | proof =

События Так как события <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> образуют полную группу систему событий, значит то по определению событие <tex> A </tex> можно представить в виде следующей суммыследующим образом:

<tex> A ~= ~A\cap B_\Omega ~=~ A \cap \big( \bigcup\limits_{i=1} + A\cap B_^{2n} + ... + A\cap B_{ni} \big) ~= ~ \sumbigcup\limits_{i=1}^{n} ( A\cap B_{i} ) </tex> (Для удобства чтения формулы обозначим операцию объединения <tex> \cup </tex> за <tex> + </tex>)

События <tex>{P}(A)~=~{P}\Big( \bigcup\limits_{B_ii=1}^{n} ( A \cap B_{i}_) \Big) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} </tex> несовместны, значит и события <tex> {P}(A\cap B_B_i) ~=~ \sum\limits_{i=1} ^{n} {P}(A \mid B_i){P}(B_i)</tex> тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

<tex>{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A\cap B_i)</tex> При этом

<tex> {p}( A\cap B_i) = {p} (B_i) {p} (A \mid B_i) </tex>=Использование формулы полной вероятности==

===Пример 1==={{Задача|definition = Имеются <tex>3</tex> одинаковые урны с шарами. В первой из них находится <tex>3</tex> белых и <tex>4</tex> черных шара, во второй {{---}} <tex>2</tex> белых и <tex>5</tex>чёрных, а в третьей {{p---}} <tex>10</tex> чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?}}('''Решение.''' Будем считать события <tex> B_1, B_2, B_3 </tex> выбором урны с соотвествующим номером, а событие <tex>A) = \sum\limits_</tex> {{i=1---}}^выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит: <tex> {nP} (B_1)~=~{pP}( A \mid B_iB_2) ~=~{pP}(B_iB_3)~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} </tex>

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию<tex>{P}(A \mid B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A \mid B_3) = 0.</tex> В результате получаем<tex>{P}(A) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238</tex> ===Пример 2===Рассмотрим пример из введения. '''Решение. Пусть ''' Обозначим за событие <tex> A </tex> {{---}} выбрана деталь отличного качества, тогда событие <tex>NB_i </tex> — случайная величина{{---}} выбранная деталь изготовлена в <tex>i</tex> цехе (где <tex> i ~=~ 1, имеющая распределение2,3 </tex>). :<tex>{pP}(NB_1) =n\genfrac{}{}{}{0}{10}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{4},~{P}(B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{25}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{5}{8},~ {pP}(B_nB_3)= \genfrac{}{}{}{0}{5}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{8}. </tex>.Тогда По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе: <tex>{pP}(A\mid B_1) = {EP}(A \left[mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~{pP}(A\mid NB_3)= \right]genfrac{}{}{}{0}{7}{10}. </tex>,т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности: <tex> {P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775</tex>

== Источники информации ==*[http://nsu.ru.wikipedia.org/wikimmf/tvims/chernova/tv/lec/Формула_полной_вероятности node14.html NSU | Формула полной вероятности]* [http://ruvm.wikipediapsati.orgru/wikidownloads/Формула_полной_вероятностиuch-pos-tv.pdf Конспект лекций | Теория вероятностей] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Теория вероятности]]