Изменения

'''Формула полной вероятности''' (англ. ''law of total probability'') позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность ]] интересующего события <tex> A </tex> через [[условная вероятности его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятностьпринятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример: {{Задача|условные вероятности]] этого события definition = Из <tex>40</tex> деталей <tex>10</tex> изготовлены в предположении неких гипотезпервом цехе, <tex>25</tex> {{---}} во втором, а также вероятностей этих гипотезостальные {{---}} в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью <tex>0.9</tex>, второй цех {{---}} с вероятностью <tex>0.7</tex>.Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?}}

==ФормулировкаТеорема=={{Определение|definition = '''Полной системой событий''' называется [[Мощность множества | не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1,\ B_2,\ \dots,\ B_{n} </tex>, таких что:# все события попарно несовместны: <tex> \forall i,\ j = 1,\ 2,\ \dots,\ n\ B_{i} \cap B_{j} = \varnothing </tex># их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup\ \dots ~\cup ~B_n = \Omega </tex>}}В этом случае события <tex>B_i</tex> ещё называются гипотезами.

{{Теорема| about = формула полной вероятности| statement = Вероятность события <tex> A ~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex>B_1, B_2, \{B_i\}_{i=1}^dots, B_{n} </tex>, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события <tex> A </tex>.образующих

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть <tex>N{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i) </tex> | proof =  Так как события <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> — случайная величинаобразуют полную систему событий, имеющая распределението по определению событие <tex> A </tex> можно представить следующим образом: <tex> A~=~A \cap \Omega ~=~ A \cap \big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} B_{i} \big) ~=~ \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) </tex> События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> попарно несовместны, значит, события <tex> (A\cap B_{i}) </tex> тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем: <tex>{P}(A)~=~{P}\Big( \bigcup\mathbblimits_{Pi=1}^{n}(NA \cap B_{i} ) \Big) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A\cap B_i) ~= ~ \sum\mathbblimits_{i=1}^{n} {P}(B_nA \mid B_i){P}(B_i)</tex> }} ==Использование формулы полной вероятности== Рассмотрим два примера ===Пример 1==={{Задача|definition = Имеются <tex>3</tex>одинаковые урны с шарами.В первой из них находится <tex>3</tex> белых и <tex>4</tex> черных шара, во второй {{---}} <tex>2</tex> белых и <tex>5</tex> чёрных, а в третьей {{---}} <tex>10</tex> чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?Тогда }}'''Решение.''' Будем считать события <tex> B_1, B_2, B_3 </tex> выбором урны с соотвествующим номером, а событие <tex>A</tex> {{---}} выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит: <tex>{P}(B_1)~=~{P}(B_2)~=~{P}(B_3)~=~ \mathbbgenfrac{}{}{}{0}{1}{3} </tex> Теперь найдём вероятность события <tex>A</tex> при выборе каждой урны: <tex>{P}(A\mid B_1) = \mathbbgenfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {EP}(A \left[mid B_2) = \mathbbgenfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A\mid NB_3) = 0.</tex> В результате получаем<tex>{P}(A)~=~ \right]genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238</tex> ===Пример 2===Рассмотрим пример из введения. '''Решение.''' Обозначим за событие <tex> A </tex>{{---}} выбрана деталь отличного качества,тогда событие <tex> B_i </tex> {{---}} выбранная деталь изготовлена в <tex>i</tex> цехе (где <tex> i ~=~ 1,2,3 </tex>). <tex> {P}(B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{10}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{4},~{P}(B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{25}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{5}{8},~ т{P}(B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{5}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{8}.е</tex> По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе: <tex> {P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~{P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной </tex> Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности: <tex> {P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775</tex>

== Источники информации ==*[http://nsu.ru.wikipedia.org/wikimmf/tvims/chernova/tv/lec/Формула_полной_вероятности node14.html NSU | Формула полной вероятности]* [http://ruvm.wikipediapsati.orgru/wikidownloads/Формула_полной_вероятностиuch-pos-tv.pdf Конспект лекций | Теория вероятностей] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Теория вероятности]]