Формула полной вероятности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 5: Строка 5:
 
Вероятность события <tex> A </tex>, которое может произойти вместе с одним из событий <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex>, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события <tex> A </tex>.
 
Вероятность события <tex> A </tex>, которое может произойти вместе с одним из событий <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex>, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события <tex> A </tex>.
  
<tex>{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i)</tex>
+
<tex>{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)</tex>
  
 
==Доказательство==
 
==Доказательство==
Строка 15: Строка 15:
 
События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> несовместны, значит и события <tex> AB_{i} </tex> тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:
 
События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> несовместны, значит и события <tex> AB_{i} </tex> тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:
  
<tex>{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( AB_i)</tex>
+
<tex>{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( AB_i)</tex>
  
 
При этом  
 
При этом  
  
<tex> {P}( AB_i) = {P} (B_i) {P} (A \mid B_i) </tex>
+
<tex> {p}( AB_i) = {p} (B_i) {p} (A \mid B_i) </tex>
  
 
Окончательно получаем:
 
Окончательно получаем:
  
<tex>{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i)</tex>
+
<tex>{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)</tex>
  
 
==Замечание==
 
==Замечание==
  
 
Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть <tex>N</tex> — случайная величина, имеющая распределение
 
Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть <tex>N</tex> — случайная величина, имеющая распределение
:<tex>{P}(N=n) = {P}(B_n)</tex>.
+
:<tex>{p}(N=n) = {p}(B_n)</tex>.
 
Тогда  
 
Тогда  
:<tex>{P}(A) = {E}\left[{P}(A\mid N)\right]</tex>,
+
:<tex>{p}(A) = {E}\left[{p}(A\mid N)\right]</tex>,
 
т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.
 
т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.
  

Версия 02:33, 15 января 2011

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Вероятность события [math] A [/math], которое может произойти вместе с одним из событий [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math], равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события [math] A [/math].

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)[/math]

Доказательство

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] образуют полную группу событий, значит событие [math] A [/math] можно представить в виде следующей суммы:

[math] A = AB_{1} + AB_{2} + ... + AB_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} AB_{i} [/math]

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] несовместны, значит и события [math] AB_{i} [/math] тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( AB_i)[/math]

При этом

[math] {p}( AB_i) = {p} (B_i) {p} (A \mid B_i) [/math]

Окончательно получаем:

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)[/math]

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть [math]N[/math] — случайная величина, имеющая распределение

[math]{p}(N=n) = {p}(B_n)[/math].

Тогда

[math]{p}(A) = {E}\left[{p}(A\mid N)\right][/math],

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

Источники