Формула полной вероятности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 15 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Формула полной вероятности''' позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью. Формула поллной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:  
+
'''Формула полной вероятности''' (англ. ''law of total probability'') позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:  
 
+
{{Задача
''Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех - с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?''
+
|definition =
 +
Из <tex>40</tex> деталей <tex>10</tex> изготовлены в первом цехе, <tex>25</tex> {{---}} во втором, а остальные {{---}} в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью <tex>0.9</tex>, второй цех {{---}} с вероятностью <tex>0.7</tex>. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
 +
}}
  
 
==Теорема==
 
==Теорема==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =  
 
|definition =  
'''Полной системой событий''' назвается [[Мощность множества | не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1, B_2, ..., B_{n} </tex>, таких что:
+
'''Полной системой событий''' называется [[Мощность множества | не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1,B_2,\ \dots,\ B_{n} </tex>, таких что:
# все события попарно несовместны: <tex> \forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_{i} \cap B_{j} = \varnothing </tex>
+
# все события попарно несовместны: <tex> \forall i,\ j = 1,\ 2,\ \dots,\ n\ B_{i} \cap B_{j} = \varnothing </tex>
# их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega </tex>
+
# их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup\ \dots ~\cup ~B_n = \Omega </tex>
 
}}
 
}}
 
В этом случае события <tex>B_i</tex> ещё называются гипотезами.
 
В этом случае события <tex>B_i</tex> ещё называются гипотезами.
Строка 16: Строка 18:
 
формула полной вероятности
 
формула полной вероятности
 
| statement =  
 
| statement =  
Вероятность события <tex> A~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex> B_1, B_2, ..., B_{n} </tex>, образующих
+
Вероятность события <tex> A~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex> B_1, B_2, \dots, B_{n} </tex>, образующих
  
 
полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.
 
полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.
Строка 23: Строка 25:
 
| proof =  
 
| proof =  
  
Так как события <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> образуют полную группу, то по определению событие <tex> A </tex> можно представить следующим образом:
+
Так как события <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> образуют полную систему событий, то по определению событие <tex> A </tex> можно представить следующим образом:
  
 
<tex>  
 
<tex>  
Строка 29: Строка 31:
 
</tex>
 
</tex>
  
События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> попарно несовместны, значит и события <tex> (A\cap B_{i}) </tex> тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем:
+
События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> попарно несовместны, значит, события <tex> (A\cap B_{i}) </tex> тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем:
  
 
<tex>  
 
<tex>  
Строка 37: Строка 39:
 
}}
 
}}
  
==Примеры==
+
==Использование формулы полной вероятности==
'''I. Условие.''' Имеются 3 одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй {{---}} 2 белых и 5 чёрных, а в третьей {{---}} 10 чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
 
  
 +
Рассмотрим два примера
 +
 +
===Пример 1===
 +
{{Задача
 +
|definition = Имеются <tex>3</tex> одинаковые урны с шарами. В первой из них находится <tex>3</tex> белых и <tex>4</tex> черных шара, во второй {{---}} <tex>2</tex> белых и <tex>5</tex> чёрных, а в третьей {{---}} <tex>10</tex> чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
 +
}}
 
'''Решение.''' Будем считать события <tex> B_1, B_2, B_3 </tex> выбором урны с соотвествующим номером, а событие <tex>A</tex> {{---}} выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:
 
'''Решение.''' Будем считать события <tex> B_1, B_2, B_3 </tex> выбором урны с соотвествующим номером, а событие <tex>A</tex> {{---}} выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:
 
   
 
   
Строка 47: Строка 54:
  
 
<tex>
 
<tex>
{P}(A \mid B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {P}(A \mid B_3) = 0.
+
{P}(A \mid B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A \mid B_3) = 0.
 
</tex>
 
</tex>
  
 
В результате получаем
 
В результате получаем
 
<tex>
 
<tex>
{P}(A) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238
+
{P}(A) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238
 
</tex>
 
</tex>
  
'''II.''' Рассмотрим пример из введения.
+
===Пример 2===
 +
Рассмотрим пример из введения.
  
'''Решение.''' Обозначим за событие <tex> A </tex> {{---}} выбрана деталь отличного качества, тогда событие <tex> B_i </tex> {{---}} выбранная деталь изготовлена в ''i'' цехе (где <tex> i ~=~ 1,2,3 </tex>).
+
'''Решение.''' Обозначим за событие <tex> A </tex> {{---}} выбрана деталь отличного качества, тогда событие <tex> B_i </tex> {{---}} выбранная деталь изготовлена в <tex>i</tex> цехе (где <tex> i ~=~ 1,2,3 </tex>).
  
 
<tex>  
 
<tex>  
Строка 68: Строка 76:
  
 
<tex>  
 
<tex>  
{P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~
+
{P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~
{P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}.  
+
{P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}.  
 
</tex>
 
</tex>
  
Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:
+
Теперь воспользуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:
  
 
<tex>  
 
<tex>  
{P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775
+
{P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10}  \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775
 
</tex>
 
</tex>
  
Строка 83: Строка 91:
 
* [[Формула Байеса]]
 
* [[Формула Байеса]]
  
== Источники ==
+
== Источники информации ==
 
* [http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node14.html NSU | Формула полной вероятности]
 
* [http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node14.html NSU | Формула полной вероятности]
 
* [http://vm.psati.ru/downloads/uch-pos-tv.pdf Конспект лекций | Теория вероятностей]
 
* [http://vm.psati.ru/downloads/uch-pos-tv.pdf Конспект лекций | Теория вероятностей]

Текущая версия на 19:35, 4 сентября 2022

Формула полной вероятности (англ. law of total probability) позволяет вычислить вероятность интересующего события [math] A [/math] через вероятности его произойти при выполнении гипотез с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:

Задача:
Из [math]40[/math] деталей [math]10[/math] изготовлены в первом цехе, [math]25[/math] — во втором, а остальные — в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью [math]0.9[/math], второй цех — с вероятностью [math]0.7[/math]. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?


Теорема

Определение:
Полной системой событий называется не более чем счётное множество событий [math] B_1,\ B_2,\ \dots,\ B_{n} [/math], таких что:
  1. все события попарно несовместны: [math] \forall i,\ j = 1,\ 2,\ \dots,\ n\ B_{i} \cap B_{j} = \varnothing [/math]
  2. их объединение образует пространство элементарных исходов: [math]P(B_{i})~\gt ~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup\ \dots ~\cup ~B_n = \Omega [/math]

В этом случае события [math]B_i[/math] ещё называются гипотезами.

Теорема (формула полной вероятности):
Вероятность события [math] A~\subset ~\Omega [/math], которое может произойти только вместе с одним из событий [math] B_1, B_2, \dots, B_{n} [/math], образующих

полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.

[math] {P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i) [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как события [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] образуют полную систему событий, то по определению событие [math] A [/math] можно представить следующим образом:

[math] A~=~A \cap \Omega ~=~ A \cap \big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} B_{i} \big) ~=~ \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) [/math]

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] попарно несовместны, значит, события [math] (A\cap B_{i}) [/math] тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем:

[math] {P}(A)~=~{P}\Big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) \Big) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A\cap B_i) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A \mid B_i){P}(B_i) [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Использование формулы полной вероятности

Рассмотрим два примера

Пример 1

Задача:
Имеются [math]3[/math] одинаковые урны с шарами. В первой из них находится [math]3[/math] белых и [math]4[/math] черных шара, во второй — [math]2[/math] белых и [math]5[/math] чёрных, а в третьей — [math]10[/math] чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?

Решение. Будем считать события [math] B_1, B_2, B_3 [/math] выбором урны с соотвествующим номером, а событие [math]A[/math] — выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:

[math] {P}(B_1)~=~{P}(B_2)~=~{P}(B_3)~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} [/math]

Теперь найдём вероятность события [math]A[/math] при выборе каждой урны:

[math] {P}(A \mid B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A \mid B_3) = 0. [/math]

В результате получаем [math] {P}(A) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238 [/math]

Пример 2

Рассмотрим пример из введения.

Решение. Обозначим за событие [math] A [/math] — выбрана деталь отличного качества, тогда событие [math] B_i [/math] — выбранная деталь изготовлена в [math]i[/math] цехе (где [math] i ~=~ 1,2,3 [/math]).

[math] {P}(B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{10}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{4},~ {P}(B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{25}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{5}{8},~ {P}(B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{5}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{8}. [/math]

По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:

[math] {P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}. [/math]

Теперь воспользуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:

[math] {P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775 [/math]

См. также

Источники информации