Изменения

'''Формула полной вероятности''' (англ. ''law of total probability'') позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример: {{Задача|definition = ''Из <tex>40</tex> деталей <tex>10</tex> изготовлены в первом цехе, <tex>25</tex> {{---}} во втором, а остальные {{---}} в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью <tex>0.9</tex>, второй цех {{---}} с вероятностью <tex>0.7</tex>. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?''}}

'''Полной системой событий''' называется [[Мощность множества | не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1, \ B_2, ...\ \dots, \ B_{n} </tex>, таких что:# все события попарно несовместны: <tex> \forall i,~\ j = 1, \ 2, ...\ \dots, \ n~\ B_{i} \cap B_{j} = \varnothing </tex># их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...\ \dots ~\cup ~B_n = \Omega </tex>

Вероятность события <tex> A~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex> B_1, B_2, ...\dots, B_{n} </tex>, образующих

'''Условие.''' {{Задача|definition = Имеются <tex>3</tex> одинаковые урны с шарами. В первой из них находится <tex>3</tex> белых и <tex>4</tex> черных шара, во второй {{---}} <tex>2</tex> белых и <tex>5</tex> чёрных, а в третьей {{---}} <tex>10</tex> чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?}}

{P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_2B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~{P}(A \mid B_3B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}.

Теперь восползуемся воспользуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:

{P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{97}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{79}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775

== Источники информации ==