Формула полной вероятности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство)
Строка 1: Строка 1:
'''Формула полной вероятности''' позволяет вычислить вероятность интересующего события через [[условная вероятность|условные вероятности]] этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
+
'''Формула полной вероятности''' позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности событию <tex> A </tex> произойти при выполнении ''гипотез'' и вероятность этих ''гипотез''.
  
==Формулировка==
+
==Теорема==
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
[[Мощность множества | Не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1, B_2, ..., B_n </tex>, таких что:
 +
* все события попарно несовместны: <tex> \forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_i \cap B_j = \varnothing </tex>
 +
* их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_i)~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega </tex>
 +
}}
 +
В этом случае события <tex>B_i</tex> ещё называются гипотезами.
  
 
Вероятность события <tex> A </tex>, которое может произойти вместе с одним из событий <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex>, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события <tex> A </tex>.
 
Вероятность события <tex> A </tex>, которое может произойти вместе с одним из событий <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex>, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события <tex> A </tex>.

Версия 12:34, 5 декабря 2011

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события [math] A [/math] через вероятности событию [math] A [/math] произойти при выполнении гипотез и вероятность этих гипотез.

Теорема

Определение:
Не более чем счётное множество событий [math] B_1, B_2, ..., B_n [/math], таких что:
  • все события попарно несовместны: [math] \forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_i \cap B_j = \varnothing [/math]
  • их объединение образует пространство элементарных исходов: [math]P(B_i)~\gt ~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega [/math]

В этом случае события [math]B_i[/math] ещё называются гипотезами.

Вероятность события [math] A [/math], которое может произойти вместе с одним из событий [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math], равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события [math] A [/math].

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)[/math]

Доказательство

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] образуют полную группу событий, значит событие [math] A [/math] можно представить в виде следующей суммы:

[math] A = A\cap B_{1} + A\cap B_{2} + ... + A\cap B_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} A\cap B_{i} [/math] (Для удобства чтения формулы обозначим операцию объединения [math] \cup [/math] за [math] + [/math])


События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] несовместны, значит и события [math] A\cap B_{i} [/math] тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A\cap B_i)[/math] При этом

[math] {p}( A\cap B_i) = {p} (B_i) {p} (A \mid B_i) [/math]

Окончательно получаем:

[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)[/math]

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть [math]N[/math] — случайная величина, имеющая распределение

[math]{p}(N=n) = {p}(B_n)[/math].

Тогда

[math]{p}(A) = {E}\left[{p}(A\mid N)\right][/math],

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

Источники