Формулировки теорем 2 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических== {{Определение |definition= …»)
 
 
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника)
Строка 1: Строка 1:
==1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических==
+
== Вопрос №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
 
Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>.  
 
Ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <tex>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <tex>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>.  
 
}}
 
}}
==2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля==
+
== Вопрос №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
 
Пусть дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <tex> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>.
 
Пусть дан ряд <tex>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <tex> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <tex> S </tex> по '''методу Абеля''', если <tex> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>.
 
}}
 
}}
==3. Теорема Фробениуса==
+
== Вопрос №3. Теорема Фробениуса==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=
 
|author=
Строка 16: Строка 16:
 
<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).
 
<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).
 
}}
 
}}
==4. Тауберова теорема Харди==
+
== Вопрос №4. Тауберова теорема Харди==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|author=
 
|author=

Текущая версия на 00:41, 12 июня 2011

Вопрос №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических[править]

Определение:
Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n[/math] имеет сумму [math]S[/math] по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k[/math].

Вопрос №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля[править]

Определение:
Пусть дан ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n[/math] и [math] \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)[/math] (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму [math] S [/math] по методу Абеля, если [math] S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)[/math].

Вопрос №3. Теорема Фробениуса[править]

Теорема (Фробениус):
[math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (с.а) [math] \Rightarrow [/math] [math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (А).

Вопрос №4. Тауберова теорема Харди[править]

Теорема (Харди):
[math]\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S[/math](с.а.) Тогда, если существует такое [math] M \gt 0 [/math], что [math] \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n [/math], то [math] \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S[/math].