Изменения
Нет описания правки
|proof =
Рассмотрим каркас T графа G и фундаментальные циклы <tex> C_1 ... C_{s} </tex> относительно каркаса T. В каждом из <tex> С_{i} </tex> есть ребро <tex>e_{i}</tex> которое принадлежит ровно одному из <tex> C_1 ... C_{s} </tex>. Поэтому сумма различных фундаментальных циклов относительно каркаса Т не является пустым графом, из чего следует, что <tex> C_1 ... C_{s} </tex> линейно независимы.
Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа G является суммой фундаментальных циклов. Пусть Z — цикл циклического пространства графа G, <tex> e_1 ... e_{k} </tex> ребра принадлежащие Z и не принадлежащие T. Рассмотрим граф <tex> F = Z \oplus C_1 \oplus ... \oplus C_{k} </tex>. Каждое из ребер <tex> e_{t} , t = 1,..,k </tex> встречается ровно в двух слагаемых — Z и <tex>C_{k}</tex>. Значит F содержит только ребра из T. Так как <tex> С_1 C_1 ... С_C_{k} </tex> простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин Z тоже четны по [[Циклическое пространство графа|лемме]], значит степени всех вершин F четны. Если F непустой граф то в F есть цикл, значит цикл есть и в T. Значит F пустой граф, откуда следует что <tex>Z = C_1 \oplus ... \oplus C_{k} </tex>.
}}
