Фундаментальные циклы графа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Литература)
Строка 1: Строка 1:
Рассмотрим остов <tex>T</tex> графа <tex>G</tex>. <tex>e_1,\ldots,e_{s}</tex> — все ребра графа <tex>G</tex>, которые не входят в остов <tex>T</tex>. При добавлении <math>e_{i}</math> образуется простой цикл <tex>C_{i}</tex>. Семейство циклов <tex>C_1 \ldots C_{s}</tex> называется '''фундаментальными циклами графа <tex>G</tex> относительно остова <tex>T</tex>'''.
+
{{Определение
 
+
|definition=
 +
'''Фундаментальный цикл графа <tex>G</tex> относительно остова <tex>T</tex>''' - простой цикл <tex>C</tex>, полученный путем добавления добавления к остову <tex>T</tex> ребра <tex>e_1e_2 \notin T</tex>}}
 
[[Файл:Fundomential.png|380px|центр|thumb|Пример фундаментального цикла в графе. <font color=#ED1C24>Красным</font> выделен фундаментальный цикл.]]
 
[[Файл:Fundomential.png|380px|центр|thumb|Пример фундаментального цикла в графе. <font color=#ED1C24>Красным</font> выделен фундаментальный цикл.]]
  

Версия 11:32, 16 октября 2016

Определение:
Фундаментальный цикл графа [math]G[/math] относительно остова [math]T[/math] - простой цикл [math]C[/math], полученный путем добавления добавления к остову [math]T[/math] ребра [math]e_1e_2 \notin T[/math]
Пример фундаментального цикла в графе. Красным выделен фундаментальный цикл.


Свойства

Теорема:
Множество всех фундаментальных циклов относительно любого остова [math]T[/math] графа [math]G[/math] образует базис циклического пространства этого графа.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим остов [math]T[/math] графа [math]G[/math] и фундаментальные циклы [math] C_1 \ldots C_s [/math] относительно остова [math]T[/math]. В каждом цикле есть ребро [math]e_i[/math], которое принадлежит ровно одному из [math] C_1 \ldots C_{s} [/math]. Поэтому сумма различных фундаментальных циклов относительно остова [math]T[/math] не является пустым графом, из чего следует, что [math] C_1 \ldots C_s [/math] линейно независимы.

Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа [math]G[/math] является суммой фундаментальных циклов. Пусть [math]Z[/math] — цикл циклического пространства графа [math]G[/math], [math] e_1 \ldots e_{k} [/math] ребра принадлежащие [math]Z[/math] и не принадлежащие [math]T[/math]. Рассмотрим граф [math] F = Z \oplus C_1 \oplus \ldots \oplus C_{k} [/math]. Каждое из ребер [math] e_{t} , t = 1,\ldots ,k [/math] встречается ровно в двух слагаемых — [math]Z[/math] и [math]C_{k}[/math]. Значит [math]F[/math] содержит только ребра из [math]T[/math]. Так как [math] C_1 \ldots C_{k} [/math] простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин [math]Z[/math] тоже четны по лемме, значит степени всех вершин [math]F[/math] четны. Если [math]F[/math] непустой граф, то в [math]F[/math] есть цикл, значит цикл есть и в [math]T[/math]. Значит [math]F[/math] пустой граф, откуда следует что [math]Z = C_1 \oplus \ldots \oplus C_{k} [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

  • Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6