Изменения

|definition = Рассмотрим каркас '''Фундаментальный цикл графа <tex>TG</tex> графа относительно остова <tex>GT</tex>''' (''англ. fundamental cycle'') {{---}} простой цикл <tex>e_1,...,e_{s}C</tex> — все ребра графа , полученный путем добавления к [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре|остову]] <tex>GT</tex> которые не входят в каркас ребра <tex>e_1e_2 \notin T.</tex>. При добавлении <math>e_{i}</math> образуется простой цикл <tex>C_{i}</tex>. Семейство циклов <tex>C_1 [[Файл:Fundomential.png|380px|центр|thumb|Пример фундаментального цикла в графе.. C_{s}</texfont color=#ED1C24> называется '''фундаментальными циклами графа <tex>GКрасным</texfont> относительно каркаса выделен фундаментальный цикл, полученный добавлением ребра <tex>T(3, 4)</tex>''']]}}== Свойства ==

Множество всех фундаментальных циклов относительно любого каркаса остова <tex>T</tex> графа <tex>G</tex> образует базис [[Циклическое пространство графа|циклического пространства ]] этого графа.

 Рассмотрим каркас остов <tex>T</tex> графа <tex>G</tex> и фундаментальные циклы <tex> C_1 ... C_{s} \ldots C_s </tex> относительно каркаса остова <tex>T</tex>. В каждом из <tex> С_{i} </tex> цикле есть ребро <tex>e_{i}e_i</tex> , которое принадлежит ровно одному из <tex> C_1 ... \ldots C_{s} </tex>. Поэтому сумма различных фундаментальных циклов относительно каркаса остова <tex>ТT</tex> не является пустым графом, из чего следует, что <tex> C_1 ... C_{s} \ldots C_s </tex> линейно независимы. Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа <tex>G</tex> является суммой фундаментальных циклов. Пусть <tex>Z</tex> — цикл циклического пространства графа <tex>G</tex>, <tex> e_1 ... \ldots e_{k} </tex> ребра принадлежащие <tex>Z</tex> и не принадлежащие <tex>T</tex>. Рассмотрим граф <tex> F = Z \oplus C_1 \oplus ... \ldots \oplus C_{k} </tex>. Каждое из ребер <tex> e_{t} , t = 1,..\ldots ,k </tex> встречается ровно в двух слагаемых — <tex>Z</tex> и <tex>C_{k}</tex>. Значит <tex>F</tex> содержит только ребра из <tex>T</tex>. Так как <tex> C_1 ... \ldots C_{k} </tex> простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин <tex>Z</tex> тоже четны по [[Циклическое пространство графа#lemma1|лемме]], значит степени всех вершин <tex>F</tex> четны. Если <tex>F</tex> непустой граф , то в <tex>F</tex> есть цикл, значит цикл есть и в <tex>T</tex>. Значит <tex>F</tex> пустой граф, откуда следует что <tex>Z = C_1 \oplus ... \ldots \oplus C_{k} </tex>.

 == Литература См. также==* [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре|Остовные деревья]]* [[Циклическое пространство графа|Циклическое пространство графа]] ==Источники информации==* Харари Ф. Фрэнк '''Теория графов ''' = Graph theory/ перПер. с англ. — изди предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 42-е . — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ»Едиториал УРСС, 20092003. — 296 с.55. — ISBN 978-5-397354-0062200301-4.6 [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Основные определения теории графов]]