Изменения

|definition = Рассмотрим каркас T '''Фундаментальный цикл графа <tex>G.<math/tex>e_1,...,e_{s}относительно остова </mathtex> — все ребра графа G которые не входят в каркас T. При добавлении <math/tex>e_''' (''англ. fundamental cycle'') {i{---}} простой цикл <tex>C</mathtex> образуется простой цикл , полученный путем добавления к [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре|остову]] <mathtex>C_{i}T</mathtex>. Семейство циклов ребра <mathtex>C_1 e_1e_2 \notin T... C_{s}</mathtex> называется '''фундаментальными циклами графа G относительно каркаса T'''}}[[Файл:Fundomential.png|380px|центр|thumb|Пример фундаментального цикла в графе. <font color== Свойства ==#ED1C24>Красным</font> выделен фундаментальный цикл, полученный добавлением ребра <tex>(3, 4)</tex>]] 

Множество всех фундаментальных циклов относительно любого каркаса остова <tex>T </tex> графа <tex>G </tex> образует базис [[Циклическое пространство графа|циклического пространства ]] этого графа.

 Рассмотрим каркас остов <tex>T </tex> графа <tex>G </tex> и фундаментальные циклы <mathtex> C_1 ... C_{s} \ldots C_s </mathtex> относительно каркаса T. В каждом из остова <mathtex> С_{i} T</mathtex> . В каждом цикле есть ребро <mathtex>e_{i}e_i</mathtex> , которое принадлежит ровно одному из <mathtex> C_1 ... \ldots C_{s} </mathtex>. Поэтому раздичных сумма различных фундаментальных циклов относительно каркаса Т остова <tex>T</tex> не является пустым графом, из чего следует, что <mathtex> C_1 ... C_{s} \ldots C_s </mathtex> линейно независимы. Докажем, что любой цикл из циклического пространства графа <tex>G </tex> является суммой фундаментальных циклов. Пусть <tex>Z </tex> — цикл циклического пространства графа <tex>G</tex>, <mathtex> e_1 ... \ldots e_{k} </mathtex> ребра принадлежащие <tex>Z </tex> и не принадлежащие <tex>T</tex>. Рассмотрим граф <mathtex> F = Z \oplus C_1 \oplus ... \ldots \oplus C_{k} </mathtex>. Каждое из ребер <mathtex> e_{t} , t = 1,..\ldots ,k </mathtex> встречается ровно в двух слагаемых — <tex>Z </tex> и <mathtex>C_{k}</mathtex>. Значит <tex>F </tex> содержит только ребра из <tex>T</tex>. Так как <mathtex> С_1 ... С_C_1 \ldots C_{k} </mathtex> простые циклы, то степени всех их вершин четны, степени вершин <tex>Z </tex> тоже четны по [[Циклическое пространство графа#lemma1|лемме]], значит степени всех вершин <tex>F </tex> четны. Если <tex>F </tex> непустой граф , то в <tex>F </tex> есть цикл, значит цикл есть и в <tex>T</tex>. Значит <tex>F </tex> пустой граф, откуда следует что <mathtex>Z = C_1 \oplus ... \ldots \oplus C_{k} </mathtex>.