Изменения

[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<wikitex<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]] Рассмотрим $<tex>f : [a, b] \to \mathbb{R}$ </tex> и ее разбиение $<tex>\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$</tex>

'''Вариацией''' функции $<tex>f$ </tex> по разбиению $<tex>\tau$ </tex> называется $<tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|$</tex>.<br>'''Полной вариацией''' называется $<tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)$</tex>.<br>$<tex>f$ </tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если $<tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty$</tex>.<br>Класс функций ограниченной вариации обозначается как $<tex>\bigvee(a, b)$</tex>.

Пусть $<tex>f$ </tex> монотонно не убываетнеубывает, тогда она ограниченной вариации.|proof=По определению неубывания, $|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)$, тогда вариация равна $f(b) - f(a)$, то есть конечна. Аналогично с не возрастающей функцией.}}{{Утверждение|statement=Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.

$По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (x_{k+1}) - f(x_k) \le M</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b ) - f(a) \le + \infty${{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ</tex>, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}}то есть конечна. Аналогично с невозрастающей функцией.

Построим пример такой функции. ''Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной <tex>(a, b)</tex> смысла нет. Действительно, если <tex>f' < M</tex>, то по [[Классические_теоремы_дифференциального_исчисления#lagrange|Лагранжу]]: <tex>\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex> и полная вариация такой <tex>f</tex> конечна.'' Возьмем $<tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0$</tex>.Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.<tex> | f(x_k) - f(x_{TODOk+1}) |t=ЭМ, ТУТ КАКОЙ| \frac{(-ТО ТРЕШ1)^k}{\frac{\pi}{2}+ \pi k}- \frac{(-1)^{k+1}}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}| = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}</tex>. Видно, что это образует расходящийся гармонический ряд, сумма которого имеет порядок <tex> \ln(n) </tex>.

Пусть $<tex>f(x) \in \bigvee(a, c)$ </tex> и $<tex>b \in [a, c]$</tex>, тогда $<tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = + \bigvee\limits_b^c (f)$</tex>.

1) Рассмотрим разбиения $<tex>\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c$</tex>.$ <tex> \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c $</tex>.

По определению полной вариации, $<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)$</tex>.

$ <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) $</tex>

Устремляя $<tex>\varepsilon$ </tex> к 0, получаем $ <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)$.2) Для любого $\varepsilon </tex> 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)$. Однако в это разбиение может не войти точка $b$ в это разбиение, поэтому получим из него разбиение $\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c$. Пусть $\tau_1$ — разбиение $a=x_0 < \dots x_p=b$, а $\tau_2$ — разбиение $x_p = b \dots x_{p+m} = c$. Тогда:

$2) Для любого <tex>\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f</tex>. Однако в это разбиение может не войти точка <tex>b</tex>, поэтому получим из него разбиение <tex>\tau') : a=x_0 < \le \bigvee\limits_a^dots < x_p = b (f, < x_{p+1} < \tau_1) dots < x_{p+ m} = c</tex>. Пусть <tex>\bigveetau_1</tex> — разбиение <tex>a=x_0 < \limits_b^c (fdots x_p=b</tex>, а <tex>\tau_2) \le \bigvee</tex> — разбиение <tex>x_p = b \limits_a^b (f) dots x_{p+ \bigvee\limits_b^m} = c (f) $</tex>. Тогда:

<tex>\bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) </tex>.  Устремляя $<tex>\varepsilon$ </tex> к 0, получим $ <tex> \bigvee\limits_a^c (f) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $</tex>. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.

Если $<tex>f$ </tex> — функция ограниченной вариации ($<tex>f \in \bigvee(a, b)$</tex>)тогда и только тогда, то когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($<tex>f = f_1 - f_2$</tex>).

  == См. также ==[http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/127/lectionii-1.pdf] [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<</wikitex]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]][[Категория:Математический анализ 2 курс]]