Изменения

Пусть <tex>f</tex> монотонно не убываетнеубывает, тогда она ограниченной вариации.|proof=По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b) - f(a)</tex>, то есть конечна. Аналогично с не возрастающей функцией.}}{{Утверждение|statement=Пусть <tex>f'</tex> опредлена на <tex>(a, b)</tex> и ограничена, тогда <tex>f</tex> — функция ограниченной вариации.

По определению неубывания, <tex>|f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (x_{k+1}) - f(x_k) \le M| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b ) - f(a) \le + \infty</tex>{{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}}то есть конечна. Аналогично с невозрастающей функцией.

Построим пример такой функции. ''Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной <tex>(a, b)</tex> смысла нет. Действительно, если <tex>f' < M</tex>, то по [[Классические_теоремы_дифференциального_исчисления#lagrange|Лагранжу]]: <tex>\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex> и полная вариация такой <tex>f</tex> конечна.'' Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0</tex>.Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{TODO2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.<tex> | f(x_k) - f(x_{k+1}) |t=ЭМ, ТУТ КАКОЙ| \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k} - \frac{(-ТО ТРЕШ1)^{k+1}}{\frac{\pi}{2}+ \pi (k + 1)}| = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}</tex>. Видно, что это образует расходящийся гармонический ряд, сумма которого имеет порядок <tex> \ln(n) </tex>.

Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.

По определению полной вариации, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)</tex>.

 2) Для любого <tex>\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)</tex>. Однако в это разбиение может не войти точка <tex>b</tex> в это разбиение, поэтому получим из него разбиение <tex>\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c</tex>. Пусть <tex>\tau_1</tex> — разбиение <tex>a=x_0 < \dots x_p=b</tex>, а <tex>\tau_2</tex> — разбиение <tex>x_p = b \dots x_{p+m} = c</tex>. Тогда:

Если <tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>)тогда и только тогда, то когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).

Возьмем в качестве <tex>f_1</tex> функцию <tex>f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)</tex>, тогда по аддитивности она будет не убыватьнеубывать.Определим как <tex>f_2</tex> функцию <tex>f_2(x) = f_1(x) - f(x)</tex>. Докажем, что она монотонно не убываетнеубывает. Пусть <tex>\tau: a < x_1 < x_2 < b</tex>.  Надо доказать, что <tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1). Но , действительно , <tex>abacaba f(x_2) - f(x_1) \le | f(x_2) - f(x_1) | = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f, \tau) \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex>, ч. т. д. В обратную сторону следствие верно, так как монотонные функции - функции ограниченной вариации, и линейная комбинация функций ограниченной вариации тоже является функцией ограниченной вариации.