Функции ограниченной вариации — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «<wikitex> Рассмотрим $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ и ее разбиение $\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$ {{Определение |definition=...»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 18 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
<wikitex>
+
[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]]
Рассмотрим $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ и ее разбиение $\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$
+
 
 +
Рассмотрим <tex>f : [a, b] \to \mathbb{R}</tex> и ее разбиение <tex>\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b</tex>
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Вариацией''' функции $f$ по разбиению $\tau$ называется $\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|$.<br>
+
'''Вариацией''' функции <tex>f</tex> по разбиению <tex>\tau</tex> называется <tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|</tex>.<br>
'''Полной вариацией''' называется $\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)$.<br>
+
'''Полной вариацией''' называется <tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)</tex>.<br>
$f$ называется функцией '''ограниченной вариации''', если $\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty$.<br>
+
<tex>f</tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если <tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty</tex>.<br>
Класс функций ограниченной вариации обозначается как $\bigvee(a, b)$.
+
Класс функций ограниченной вариации обозначается как <tex>\bigvee(a, b)</tex>.
 
}}
 
}}
  
{{Теорема
+
Замечание: попутно за <tex>\bigvee</tex> будем обозначать класс <tex> 2 \pi</tex>-периодических функций ограниченной вариации на <tex> Q </tex>.
 +
 
 +
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
$f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.<br>
+
Пусть <tex>f</tex> монотонно неубывает, тогда она ограниченной вариации.
$f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций.
 
 
|proof=
 
|proof=
Некоторые вспомогательные утверждения:
+
По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b) - f(a)</tex>, то есть конечна. Аналогично с невозрастающей функцией.
 +
}}
 +
 
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть $f$ монотонно не убывает, тогда она ограниченной вариации.
+
Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
 
|proof=
 
|proof=
По определению неубывания, $|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)$, тогда вариация равна $f(b) - f(a)$, то есть конечна. Аналогично с не возрастающей функцией.
+
Построим пример такой функции.
 +
 
 +
''Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной <tex>(a, b)</tex> смысла нет. Действительно, если <tex>f' < M</tex>, то по [[Классические_теоремы_дифференциального_исчисления#lagrange|Лагранжу]]:  <tex>\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex> и полная вариация такой <tex>f</tex> конечна.''
 +
 
 +
Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), f(0) = 0</tex>.
 +
Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.
 +
<tex> | f(x_k) - f(x_{k+1}) | = | \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k} - \frac{(-1)^{k+1}}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}| = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}</tex>. Видно, что это образует расходящийся гармонический ряд, сумма которого имеет порядок <tex> \ln(n) </tex>.  
 
}}
 
}}
{{Утверждение
+
 
 +
{{Теорема
 +
|about=
 +
аддитивность вариации
 
|statement=
 
|statement=
Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.
+
Пусть <tex>f(x) \in \bigvee(a, c)</tex> и <tex>b \in [a, c]</tex>, тогда <tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 +
1) Рассмотрим разбиения <tex>\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c</tex>.
 +
<tex> \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c </tex>.
  
}}
+
По определению полной вариации, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)</tex>.
 +
 
 +
<tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon  < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) </tex>
 +
 
 +
Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к 0, получаем <tex> \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)</tex>.
 +
 
 +
2) Для любого <tex>\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)</tex>. Однако в это разбиение может  не войти точка <tex>b</tex>, поэтому получим из него разбиение <tex>\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c</tex>. Пусть <tex>\tau_1</tex> — разбиение <tex>a=x_0 < \dots x_p=b</tex>, а <tex>\tau_2</tex> — разбиение <tex>x_p = b \dots x_{p+m} = c</tex>. Тогда:
  
 +
<tex>\bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon <  \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) </tex>.
  
2) Пусть f' ограничена на (a, b).
+
Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к 0, получим <tex> \bigvee\limits_a^c (f) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) </tex>. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.
|f'| \le M \Rightarrow |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\tilda x_k)| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) < \infty (Более того, f' — суммируема, поэтому вариация ограничена)
+
}}
  
Не любая непрерывная функция имеет ограниченную вариацию:
+
{{Теорема
f(x) = x \sin \frac 1x, [0, 1] f(0) = 0
+
|statement=
 +
<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
 +
|proof=
 +
Возьмем в качестве <tex>f_1</tex> функцию <tex>f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)</tex>, тогда по аддитивности она будет неубывать.
 +
Определим как <tex>f_2</tex> функцию <tex>f_2(x) = f_1(x) - f(x)</tex>. Докажем, что она монотонно неубывает.
  
f'(x) =  \sin \frac 1x - \frac 1x \cos \frac 1x
+
Пусть <tex>\tau: a < x_1 < x_2 < b</tex>.
Производная ограничена на [a,
 
  
ТУТ ХРЕНЬ КАКАЯ-ТО
+
Надо доказать, что <tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1).
  
 +
Но, действительно, <tex> f(x_2) - f(x_1) \le |f(x_2) - f(x_1)| = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f, \tau) \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex>, ч. т. д.
  
Теорема a < b < c \Rightarrow \bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f) — аддитивность вариации.
+
В обратную сторону следствие верно, так как монотонные функции - функции ограниченной вариации, и линейная комбинация функций ограниченной вариации тоже является функцией ограниченной вариации.
Док-во: \forall \tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \forall \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c
+
}}
  
\tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c
 
  
По определению полной вариации:
+
== См. также ==
\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2:
+
[http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/127/lectionii-1.pdf]
\bigvee_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee_a^b (f, \tau_1)
 
\bigvee_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee_b^c (f, \tau_2)
 
  
\bigvee_a^b (f, \tau_1) + \bigvee_b^c (f, \tau_2) = \bigvee_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) - 2 \varepsilon < \bigvee_a^c (f), в пределе
+
[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]]
</wikitex>
+
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:42, 4 сентября 2022

<<>>

Рассмотрим [math]f : [a, b] \to \mathbb{R}[/math] и ее разбиение [math]\tau: a = x_0 \lt x_1 \dots \lt x_n = b[/math]


Определение:
Вариацией функции [math]f[/math] по разбиению [math]\tau[/math] называется [math]\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|[/math].

Полной вариацией называется [math]\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)[/math].
[math]f[/math] называется функцией ограниченной вариации, если [math]\bigvee\limits_a^b(f) \lt + \infty[/math].

Класс функций ограниченной вариации обозначается как [math]\bigvee(a, b)[/math].


Замечание: попутно за [math]\bigvee[/math] будем обозначать класс [math] 2 \pi[/math]-периодических функций ограниченной вариации на [math] Q [/math].

Утверждение:
Пусть [math]f[/math] монотонно неубывает, тогда она ограниченной вариации.
[math]\triangleright[/math]
По определению неубывания, [math]|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)[/math], тогда вариация равна [math]f(b) - f(a)[/math], то есть конечна. Аналогично с невозрастающей функцией.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
[math]\triangleright[/math]

Построим пример такой функции.

Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной [math](a, b)[/math] смысла нет. Действительно, если [math]f' \lt M[/math], то по Лагранжу: [math]\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty[/math] и полная вариация такой [math]f[/math] конечна.

Возьмем [math]f(x) = x \sin(\frac 1x), f(0) = 0[/math]. Возьмем систему точек [math]x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}[/math]. [math] f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}[/math].

[math] | f(x_k) - f(x_{k+1}) | = | \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k} - \frac{(-1)^{k+1}}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}| = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}[/math]. Видно, что это образует расходящийся гармонический ряд, сумма которого имеет порядок [math] \ln(n) [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (аддитивность вариации):
Пусть [math]f(x) \in \bigvee(a, c)[/math] и [math]b \in [a, c][/math], тогда [math]\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) Рассмотрим разбиения [math]\tau_1: a = x_0 \lt \dots \lt x_p = b, \tau_2: b = x_p \lt \dots \lt x_{p + m} = c[/math]. [math] \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 \lt \dots \lt x_{p+m} = c [/math].

По определению полной вариации, [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon \lt \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon \lt \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)[/math].

[math] \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 \varepsilon \lt \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) [/math]

Устремляя [math]\varepsilon[/math] к 0, получаем [math] \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)[/math].

2) Для любого [math]\varepsilon \gt 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon \lt \bigvee\limits_a^c (f, \tau)[/math]. Однако в это разбиение может не войти точка [math]b[/math], поэтому получим из него разбиение [math]\tau' : a=x_0 \lt \dots \lt x_p = b \lt x_{p+1} \lt \dots \lt x_{p+m} = c[/math]. Пусть [math]\tau_1[/math] — разбиение [math]a=x_0 \lt \dots x_p=b[/math], а [math]\tau_2[/math] — разбиение [math]x_p = b \dots x_{p+m} = c[/math]. Тогда:

[math]\bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon \lt \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) [/math].

Устремляя [math]\varepsilon[/math] к 0, получим [math] \bigvee\limits_a^c (f) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) [/math]. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
[math]f[/math] — функция ограниченной вариации ([math]f \in \bigvee(a, b)[/math]) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ([math]f = f_1 - f_2[/math]).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмем в качестве [math]f_1[/math] функцию [math]f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)[/math], тогда по аддитивности она будет неубывать. Определим как [math]f_2[/math] функцию [math]f_2(x) = f_1(x) - f(x)[/math]. Докажем, что она монотонно неубывает.

Пусть [math]\tau: a \lt x_1 \lt x_2 \lt b[/math].

Надо доказать, что [math]f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)[/math], или что [math]f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)[/math] (используем утверждение 1).

Но, действительно, [math] f(x_2) - f(x_1) \le |f(x_2) - f(x_1)| = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f, \tau) \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)[/math], ч. т. д.

В обратную сторону следствие верно, так как монотонные функции - функции ограниченной вариации, и линейная комбинация функций ограниченной вариации тоже является функцией ограниченной вариации.
[math]\triangleleft[/math]


См. также

[1]

<<>>