Изменения

[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<wikitex<]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]] Рассмотрим $<tex>f : [a, b] \to \mathbb{R}$ </tex> и ее разбиение $<tex>\tau: a = x_0 < x_1 \dots < x_n = b$</tex>

'''Вариацией''' функции $<tex>f$ </tex> по разбиению $<tex>\tau$ </tex> называется $<tex>\bigvee\limits_a^b (f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} | f(x_{k + 1}) - f(x_k)|$</tex>.<br>'''Полной вариацией''' называется $<tex>\bigvee\limits_a^b(f) = \sup\limits_{\tau} \bigvee\limits_a^b (f, \tau)$</tex>.<br>$<tex>f$ </tex> называется функцией '''ограниченной вариации''', если $<tex>\bigvee\limits_a^b(f) < + \infty$</tex>.<br>Класс функций ограниченной вариации обозначается как $<tex>\bigvee(a, b)$</tex>.

Пусть $<tex>f$ </tex> монотонно не убываетнеубывает, тогда она ограниченной вариации.

По определению неубывания, $<tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)$</tex>, тогда вариация равна $<tex>f(b) - f(a)$</tex>, то есть конечна. Аналогично с не возрастающей невозрастающей функцией.}}{{Утверждение|statement=Пусть $f'$ опредлена на $(a, b)$ и ограничена, тогда $f$ — функция ограниченной вариации.|proof=$f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$

Построим пример такой функции. ''Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной <tex>(a, b)</tex> смысла нет. Действительно, если <tex>f' < M</tex>, то по [[Классические_теоремы_дифференциального_исчисления#lagrange|Лагранжу]]: <tex>\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \Delta x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex> и полная вариация такой <tex>f</tex> конечна.'' Возьмем $<tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), x \int [0; 1], f(0) = 0$</tex>.Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.<tex> | f(x_k) - f(x_{TODOk+1}) |t=ЭМ, ТУТ КАКОЙ| \frac{(-ТО ТРЕШ1)^k}{\frac{\pi}{2}+ \pi k}- \frac{(-1)^{k+1}}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}| = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} + \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi (k + 1)}</tex>. Видно, что это образует расходящийся гармонический ряд, сумма которого имеет порядок <tex> \ln(n) </tex>.

|about=аддитивность вариации

Пусть $<tex>f(x) \in \bigvee(a, c)$ </tex> и $<tex>b \in [a, c]$</tex>, тогда $<tex>\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = + \bigvee\limits_b^c (f)$</tex>.

1) Рассмотрим разбиения $<tex>\tau_1: a = x_0 < \dots < x_p = b, \tau_2: b = x_p < \dots < x_{p + m} = c$</tex>.$ <tex> \tau_1 \cup \tau_2 = a = x_0 < \dots < x_{p+m} = c $</tex>. По определению полной вариации, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \tau_1, \tau_2: \bigvee\limits_a^b (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), \bigvee\limits_b^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2)</tex>.

По определению полной вариации, $\forall \varepsilon <tex> 0 \exists bigvee\tau_1, \tau_2: limits_a^b (f) + \bigvee\limits_alimits_b^b c(f) - 2 \varepsilon < \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1), + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) - \varepsilon < = \bigvee\limits_blimits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2)$\le \bigvee\limits_a^c(f) </tex>

$ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) - 2 Устремляя <tex>\varepsilon < /tex> к 0, получаем <tex> \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) = \bigvee\limits_a^c (f, \tau_1 \cup \tau_2) \le \bigvee\limits_a^c(f) $</tex>.

Устремляя $\varepsilon$ к 0, получаем $ \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c(f) \le \bigvee\limits_a^c (f)$.2) Для любого $<tex>\varepsilon > 0 \exists \tau \bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau)$</tex>. Однако в это разбиение может не войти точка $<tex>b$ в это разбиение</tex>, поэтому получим из него разбиение $<tex>\tau' : a=x_0 < \dots < x_p = b < x_{p+1} < \dots < x_{p+m} = c$</tex>. Пусть $<tex>\tau_1$ </tex> — разбиение $<tex>a=x_0 < \dots x_p=b$</tex>, а $<tex>\tau_2$ </tex> — разбиение $<tex>x_p = b \dots x_{p+m} = c$</tex>. Тогда:

$<tex>\bigvee\limits_a^c (f) - \varepsilon < \bigvee\limits_a^c (f, \tau) \le \bigvee\limits_a^c (f, \tau') \le \bigvee\limits_a^b (f, \tau_1) + \bigvee\limits_b^c (f, \tau_2) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $</tex>.

Устремляя $<tex>\varepsilon$ </tex> к 0, получим $ <tex> \bigvee\limits_a^c (f) \le \bigvee\limits_a^b (f) + \bigvee\limits_b^c (f) $</tex>. Объединяя этот результат с результатом 1 пункта, приходим к требуемому равенству.

$<tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee (a, b) \Leftrightarrow f = f_1 - f_2$, где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.<br/tex>$f$ — функция ограниченной вариации ) тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций(<tex>f = f_1 - f_2</tex>).

== См. также ==[http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/127/lectionii-1.pdf] [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<</wikitex]][[Интеграл Римана-Стилтьеса|>>]][[Категория:Математический анализ 2 курс]]