Функциональные зависимости: замыкание, эквивалентность и правила вывода

Замыкание множества функциональных зависимостей

Определение:

Замыкание множества функциональных зависимостей [math]S[/math] - множество всех функциональных зависимостей, обозначаемое [math]S^+[/math], которые следуют из заданного множества функциональных зависимостей [math]S[/math].

Построение

Set<E> buildClosure(s: Set<E>): 
  closure = Set<E>(s.addAll())
  changed = true
  while (changed): 
    changed = false
    for f in closure:
       for rule in rules:     //rules - правила вывода
         new_f = rule.apply(f, closure)
         changed = closure.add(new_f)    //add - возвращает true, если элемент был добавлен, false - иначе
  return closure

Оценка мощности замыкания

Для начала оценим количество функциональных тривиальных зависимостей на n атрибутах. Количество способов выбрать k атрибутов для левой части ФЗ - [math]{\binom {n}{k}}\lt \tex\gt , количество способов выбрать непустое подмножество из левой части - \lt tex\gt 2^k - 1[/math]. Известно, что [math]\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}[/math]. Значит количество тривиальных ФЗ [math]\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2^{k} - 1)=O((3)^{n})[/math]

Эквивалентность множеств функциональных зависимостей

Здесь и далее [math]S, P[/math] - множества функциональных зависимостей.

Определение:

[math]S[/math] слабее [math]P[/math] ([math]P[/math] накрывает [math]S[/math]) тогда и только тогда, когда [math]S^+[/math] является подмножеством [math]P^+[/math]: [math]S \sqsubset P \Leftrightarrow S^+ \subset P^+[/math]

Определение:

[math]S[/math] эквивалентно [math]P[/math]: [math]S \equiv P \, \Leftrightarrow \, S \sqsubset P \; \textrm{and} \; P \sqsubset S \, \Leftrightarrow \, S^+ = P^+ [/math]

Задача минимизации ФЗ

Постановка задачи

Найти минимальное множество ФЗ эквивалентное заданному. То есть необходимо найти множество ФЗ [math]P[/math] такое, что замыкание [math]S[/math] и [math]P[/math] совпадают и множество [math]P[/math] имеет меньшую мощность, чем [math]S[/math]. Это позволит снизить нагрузку на базу данных.