Функциональные зависимости: замыкание атрибутов, неприводимые множества функциональных зависимостей, их построение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Неприводимые множества функциональных зависимостей)
(Построение замыкания атрибутов)
 
Строка 29: Строка 29:
 
  <tex>X_S^* = X</tex>        \\<tex>X_S^*</tex> исходно совпадает с множеством, замыкание атрибутов которого ищем
 
  <tex>X_S^* = X</tex>        \\<tex>X_S^*</tex> исходно совпадает с множеством, замыкание атрибутов которого ищем
 
  '''do'''
 
  '''do'''
     '''foreach''' <tex>A \gets B \in S</tex>:      \\<tex>S</tex> {{---}} множество ФЗ
+
     '''foreach''' <tex>A \to B \in S</tex>:      \\<tex>S</tex> {{---}} множество ФЗ
 
       '''if''' <tex>A \subset X_S^*</tex> then <tex> X_S^* =  X_S^* \cup B</tex>
 
       '''if''' <tex>A \subset X_S^*</tex> then <tex> X_S^* =  X_S^* \cup B</tex>
 
  '''while''' есть изменения
 
  '''while''' есть изменения

Текущая версия на 13:25, 21 января 2021

Замыкание атрибутов[править]

Определение:
Замыкание множества атрибутов [math]X[/math] над множеством ФЗ [math]S[/math] — максимальное по включению множество атрибутов, обозначаемое [math]X^+_S[/math], функционально зависящих от [math]S[/math].


Максимальный размер [math]X^+_S[/math] равен числу атрибутов в отношении.

Основное свойство замыкания множества атрибутов[править]

Теорема:
[math]A \to B \in S^+ \Leftrightarrow B \subset A^+_S[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
По определению замыкания атрибутов.
[math]\triangleleft[/math]

Данная теорема позволяет проверять эквивалентность множеств ФЗ без вычисления замыканий ФЗ:
Даны множества функциональных зависимостей [math]S[/math] и [math]P[/math], необходимо проверить является ли [math]P[/math] эквивалентным [math]S[/math], то есть требуется показать, что [math]S^+ \subset P^+[/math] и [math]P^+ \subset S^+[/math]. Теорема выше позволяет проверять принадлежит ли ФЗ некоторому замыканию функциональных зависимостей, тогда чтобы показать, что [math]S^+ \subset P^+[/math] достаточно проверить, что [math]\forall A \to B \in S[/math] выполняется [math]A \to B \subset P^+[/math], то есть для каждой базовой функциональной зависимости [math]A \to B[/math] из [math]S[/math] построить [math]A^+_P[/math] замыкание атрибутов над [math]P[/math] и проверить, что [math]B \subset A^+_P[/math].

Утверждение:
Следствие:
[math]X[/math] — надключ [math] \Leftrightarrow X^+ [/math] — множество всех атрибутов
[math]\triangleright[/math]

[math](=\gt )[/math]
По определению замыкания атрибутов, так как все атрибуты функционально зависят от [math]X[/math].

[math](\lt =)[/math]
[math]X^+[/math] — множество всех атрибутов и по теореме [math]\exists \; X \to X^+[/math], то по определению функциональной зависимости [math]X[/math] соответствует ровно один [math]X^+[/math] и значит [math]X[/math] — надключ.
[math]\triangleleft[/math]

Данное следствие позволяет формально выделять ключи и надключи.

Построение замыкания атрибутов[править]

[math]X_S^* = X[/math]        \\[math]X_S^*[/math] исходно совпадает с множеством, замыкание атрибутов которого ищем
do
   foreach [math]A \to B \in S[/math]:      \\[math]S[/math] — множество ФЗ
      if [math]A \subset X_S^*[/math] then [math] X_S^* =  X_S^* \cup B[/math]
while есть изменения
Теорема:
[math]X^+_S = X^*_S[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) [math]X_S^+ \supset X_S^* [/math]
[math]A \subset X_S^* =\gt X \to A[/math](по правилу расщепления, так как [math]X_S^*[/math] изначально содержит в себе [math]X[/math]) [math]=\gt X \to B [/math], то есть [math]B[/math] входит в замыкание.
2) [math]X_S^+ \subset X_S^* [/math]

Доказательство от обратного: Пусть [math]X_S^+ \not\subset X_S^* =\gt \exists A: A \in X_S^+ \text{ and } A \not\in X_S^*.\; A \in X_S^+ =\gt X \to A =\gt [/math] есть вывод [math] X \to X_1^+, ..., X_n^+ \to A[/math]. В этой цепочке найдём первую свежую ФЗ, то есть она не была в базовых ФЗ [math]X[/math]. Такая функциональная зависимость точно есть в этой цепочке, например, [math]X_n^+ \to A[/math], так как [math]A \in X_S^+ \text{ and } A \not\in X_S^* =\gt [/math] такое правило не могло быть в [math]X[/math]. Получается, что атрибут A не был добавлен в [math]X^*_S[/math] в алгоритме, такое может быть только если атрибут A уже содержался в [math]X =\gt [/math] противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Неприводимые множества функциональных зависимостей[править]

Определение:
Множество ФЗ [math]S[/math] неприводимо, если:
  • Каждая правая часть ФЗ содержит ровно один атрибут
  • Каждая левая часть ФЗ минимальна по включению
  • [math]S[/math] минимально по включению


Определение:
Множество ФЗ [math]S[/math] минимально по включению, если ни одна функциональная зависимость из множества [math]S[/math] не может быть удалена из множества [math]S[/math] без изменения его замыкания [math]S^+[/math].


Теорема:
Для любого множества ФЗ существует эквивалентное неприводимое множество ФЗ (НМФЗ).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство по построению:

  • По правилу расщепления делаем все части единичными. Понятно, что замыкание множества ФЗ от такой операции не изменится, так как старая ФЗ может быть получена по правилу объединения.
  • Для каждого правила пытаемся минимизировать по включению левую часть всеми возможными способами. Чтобы проверить, что атрибут X можно удалить из [math]A \cup \{X\} \to B[/math], нужно проверить, что если [math]B \subset A^+_S[/math] выполняется, то [math]A \to B[/math], то можно минимизировать левую часть, отбросив [math]X[/math]. Потенциально из одной ФЗ может получиться множество ФЗ, где левая часть минимальна по включению.
  • Пытаемся удалить по одному правилу [math]A \to B[/math]. Если [math]B \subset A^+_{S\backslash\{A \to B\}} \to B[/math], то по теореме [math]A \to B \in S^+[/math], значит это правило можно удалить.
[math]\triangleleft[/math]

Оценка времени построения НМФЗ[править]

  • Расщепление правых частей - линейно по размеру правых частей.
  • Удаление атрибута [math]A \cup \{X\} \to B[/math]. На данном этапе из одной ФЗ возможно получить множество ФЗ минимальных по включению. Синтетическая оценка множества потенциальных множеств минимальных по включению мощностью [math] {\frac {n}{2}}[/math] это [math]{\binom {n}{{\frac {n}{2}}}} \approx 2^n [/math]. То есть на ФЗ с большой левой частью возможен экспоненциальный рост количества ФЗ с минимальной по включению левой частью. Но на реальных данных большая левая часть в ФЗ практически не встречается.
  • Удаление правила [math]A \to B[/math]. На этом этапе не добавляем ФЗ, а только удаляем, поэтому сложность этот этап не добавит. Заметим, что каждую ФЗ на этом этапе можно рассматривать лишь один раз, так как все операции по приведению множества к неприводимому сохраняют исходное замыкание ФЗ.

Замечания о НМФЗ[править]

  • Неприводимые множества ФЗ обычно много меньше множеств исходного множества ФЗ.
  • Неприводимое множество ФЗ может не являться минимальным по мощности.