19
правок
Изменения
→23. Дифференциал Фреше
'''Def.''' Отображение <tex>T</tex> называется дифференцируемым по Фреше в точке <tex>x_0</tex>, если существует оператор <tex>A_{x_0} \in L(X,Y)</tex> такой, что <tex>\delta T(x_0, \delta x) = A_{x_0}(\delta x) + o(\delta x)</tex>, где <tex>o</tex> несёт следующий смысл: <tex>\frac{ {\|o(\delta x)\|}_Y } {{\| \delta x \|}_X} \to 0</tex>.
Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: <tex>T_{x_0}' = A_{x_0}</tex>. Подчеркнем, что <tex>T_{x_0}': X \to Y</tex>. Аргументом является "отклонение" некоторой точки <tex>x'</tex> от <tex>x_0</tex>: <tex>x - x_0</tex>. А результат применения оператора: <tex>T(x') - T(x_0)</tex> с точностью до <tex>o(\delta x = x' - x)</tex>.
'''Lm.''' Рассмотрим оператор <tex>T(x, t) =\int_0^1 K(t,s,x(s))ds</tex>, действующий на <tex>x(t) \in C[0,1]</tex>, и где <tex>K = W(v, y, z); v, y \in [0, 1]</tex>, <math> z \in \mathbb R</math>, и существует непрерывная по <tex>v, y, z</tex> производная <tex>\frac{\partial K}{\partial z}</tex>. Тогда в любой точке пространства <tex>C[0,1]</tex> это отображение дифференцируемо и его производная Фреше задается интегральным линейным по <tex>\delta x</tex>оператором: <tex>T_{x_0}'(\delta x, t) = \int_0^1 \frac{\partial K}{\partial z}(t, s, x_0(s))\delta x(s) ds</tex>.
