Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Функциональный анализ

15 140 байт добавлено, 01:14, 18 октября 2016
→‎46. О размерности Ker(I-A) компактного А.
Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru
Если вы читаете это, самоуничтожьтесь.
Да, да, '''функциональный Функциональный анализ''' — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.
==Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)==
{{Теорема
|statement=
<tex>X</tex> - полное МП, <tex>\overline{V}_{r_i} \subset X,\; \overline{V}_{r_ir_{i+1}} \subset \overline{V}_{r_{i+1}r_i},\; r_i \rightarrow 0 \Rightarrow \exists ! d \in \cap \overline{V}_{r_i}</tex>
}}
===3. Критерий компактности Хаусдорфа в МП.===
ололо какбе ящитаю[[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях]]
===4. Пространство <tex>R^{\infty}</tex>: метрика, покоординатная сходимость.===
ололо какбе ящитаю<tex>(x_1^n, x_2^n, \ldots, x_m^n, \ldots) \to (x_1, x_2, \ldots, x_m, \ldots) \Leftrightarrow \forall m : x_m^n \to x_m</tex> <tex>\rho(x,y) = \sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{2^m} \cdot \frac{|x_m - y_m|}{1+|x_m - y_m|}</tex>
===5. Компактность прямоугольника в <tex>R^{\infty}</tex>.===
ололо какбе ящитаюну компактен, хуле
===6. Постранство S(E, <tex>\mu</tex>).===
===10. Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.===
эээм щито?{{Лемма|author=Рисс, о почти перпендикуляре|statement=<tex>Y</tex> - собственное подпространство <tex>X \Rightarrow \forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)|proof=<tex>\forall z \notin Y \; \forall \varepsilon\; \exists y_{\varepsilon} \in Y : \rho(z, Y) \leq \|z - y_{\varepsilon}\| \leq \frac{1}{1 - \varepsilon} \cdot \rho(z, Y)</tex> (по свойствам inf). Тогда положим <tex>z_{\varepsilon}</tex> из условия леммы равным <tex>\frac{z - y_{\varepsilon}}{\|z - y_{\varepsilon}\|}</tex>}}{{Лемма|author=пример применения леммы|statement=<tex>X</tex> - бесконечномерное НП <tex>\Rightarrow</tex> любой шар в нем - не компакт}}
===11. Банаховы пространства на примерах С[0,1] и Lp(E).===
ололо какбе ящитаю{{Определение|definition='''Банахово пространство''' - полное нормированное пространство}}{{Определение|definition=<tex>C[0,1]</tex> - пространство непрерывных функций на <tex>[0,1]</tex>. На этом пространстве определена норма <tex>\|f\| = \max\limits_{t \in [0,1]}|f(t)|</tex>}}{{Определение|definition=<tex>L_p(E)</tex> - пространство измеримых на <tex>E</tex> функций<tex>f : \int\limits_E|f|^p < +\infty</tex>. На этом пространстве определена норма <tex>\|f\| = \sqrt[p]{\int\limits_E |f|^p}</tex>}}
===12. Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.===
===13. Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.===
 
{{Теорема
|statement=
<tex>\forall x \; \exists y^* : E_n(x) = \|x - y^*\|</tex>
}}
 
===14. Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.===
 
<tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система.
 
<tex>\alpha_i(x) = \langle x,e_i \rangle, \; \sum \alpha_i(x)e_i</tex> - абстрактный ряд Фурье
 
<tex>\delta_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i(x)e_i,\; E_n(x) = \|x-\delta_n(x)\|</tex>
 
'''Неравенство Бесселя''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) \leq \|x\|^2</tex>
 
===15. Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.===
 
{{Определение
|definition=
'''Гильбертово пространство''' - полное унитарное пространство. То есть для него выполняется:
#Введено скалярное произведение
#Введена норма: <tex>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</tex>
#<tex>\|x_n - x_m\| \to 0 \Rightarrow \exists x : \|x_n - x\| \to 0</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Пространство '''сепарабельно''', если у него существует счетное абсолютно плотное подмножество
}}
{{Лемма
|statement=
В гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно
}}
 
===16. Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.===
 {{Теорема|author=Рисс - Фишер|statement=Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex>}} ===17. Наилучшее приближение в Н для случая выпуклого,замкнутого множества, <tex>H=H_1 \oplus H_2</tex>=== {{Теорема|statement=<tex>M</tex> - замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства <tex>H</tex>.Тогда <tex>\forall x \in H\; \exists \overline{x} : \|x - \overline{x}\| = \inf\limits_{y \in M} \|x - y\|</tex>}}{{Теорема|statement=<tex>H_1</tex> - подпространство <tex>H,\; H_2 =H_1^{\perp} =\{y \mid \forall x \in H_1 : y \perp x\}</tex>. Тогда <tex>\forall x \in H\; \exists!x_1, x_2 : x =x_1 + x_2,\; x_i \in H_i</tex>}} 
===18. Непрерывный линейный функционал и его норма.===
 
{{Определение
|definition=
Линейный функционал <tex>f</tex> '''ограничен''', если <tex>\|f\| = \sup\limits_{\|x\| \leq 1} |f(x)| < +\infty</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Линейный функционал <tex>f</tex> '''непрерывен''' в <tex>x</tex>, если
<tex>\forall \{x_n\} : x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x)</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>f</tex> непрерывен в <tex>x</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>f</tex> непрерывен в <tex>0</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>f</tex> ограничен
}}
 
===19. Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.===
 
{{Определение
|definition=
'''Ядро''' линейного функционала <tex>Ker f = \{x \mid f(x) = 0\}</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>f</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>Ker f</tex> замкнуто
}}
 
===20. Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.===
 
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - НП, <tex>Y</tex> всюду плотно в <tex>X</tex>, <tex>f</tex> - ограниченный линейный функционал из <tex>Y</tex>. Тогда <tex>\exists !g : X \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; \|g\| = \|f\|</tex> (существует единственное продолжение, сохраняющее норму)
}}
 
===21. Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).===
 
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - линейное множество с введенной на нем полунормой <tex>p(x)</tex>, <tex>Y \subset X</tex>, <tex>f : Y \to \mathbb{R}</tex>, <tex>|f(y)| \leq p(y)</tex> (то есть функционал подчинен полунорме), <tex>z \notin Y</tex>, <tex>Z = L(Y, z)</tex>. Тогда <tex>\exists g : Z \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)</tex>
}}
{{Теорема
|author=Хан - Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - линейное множество с введенной на нем полунормой <tex>p(x)</tex>, <tex>Y \subset X</tex>, <tex>f : Y \to \mathbb{R}</tex>, <tex>|f(y)| \leq p(y)</tex>. Тогда <tex>\exists g : X \to \mathbb{R} : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)</tex>, то есть продолжение <tex>f</tex>
}}
 
===22. Два следствия из теоремы Хана-Банаха.===
 
'''Следствие 1''': <tex>X</tex> - НП, <tex>x_0 \in X</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists f : f(x_0) = \|x_0\|,\; \|f\| = 1</tex>
 
'''Следствие 2''': <tex>X</tex> - НП, <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</tex> - ЛНЗ <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\exists \{f_1, f_2, \ldots, f_n\} : f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex> (биортогональная система)
 
===23. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в Н.===
 
{{Теорема
|author=Рисс
|statement=
<tex>\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle</tex>, причем <tex>\|f\| = \|y\|</tex>
}}
 
===24. Непрерывный линейный оператор и его норма.===
 
{{Определение
|definition=
Линейный оператор <tex>A</tex> '''ограничен''', если <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| < +\infty</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Линейный оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в <tex>x</tex>, если
<tex>\forall \{x_n\} : x_n \to x \Rightarrow Ax_n \to Ax</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>A</tex> ограничен
}}
 
===25. Продолжение линейного оператора по непрерывности.===
 
{{Лемма
|statement=
<tex>A: X_1 \to Y,\; Cl\;X_1 = X,\; Y</tex> - Банахово, <tex>\|A\| < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists !\tilde{A} : X \to Y : \tilde{A}x = Ax,\; \|\tilde{A}\| = \|A\|</tex>
}}
 
===26. Полнота пространства L(X,Y).===
 
{{Определение
|definition=
<tex>L(X,Y)</tex> - пространство непрерывных линейных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>Y</tex> - Банахово <tex>\Rightarrow L(X,Y)</tex> - Банахово
}}
 
===27. Теорема Банаха-Штейнгауза.===
 
{{Теорема
|author=Банах - Штейнгауз
|statement=
Пусть <tex>\forall x : \sup\limits_n\|A_nx\| < +\infty</tex> (то есть последовательность поточечно ограничена). Тогда <tex>\sup\limits_n\|A_n\| < +\infty</tex> (то есть последовательность равномерно ограничена)
}}
 
===28. Условие непрерывной обратимости лин. оператора.===
 
{{Теорема
|author=
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - ограниченный линейный оператор из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex>, и <tex>\exists m\; \forall x \in X : m \|x\| \leq \|Ax\|</tex>. Тогда <tex>R(A)</tex> замкнуто, <tex>\exists A^{-1}:Y \to X,\; \|A^{-1}\| < +\infty</tex>
}}
 
===29. Теорема Банаха о непрерывной обратимости I-С.===
 
{{Теорема
|author=Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - Банахово, <tex>C \in L(X),\; \|C\| < 1</tex>. Тогда <tex>I - C</tex> непрерывно обратим.
}}
 
===30. Теорема Банаха об обратном операторе.===
 
{{Теорема
|author=Банах
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - биективный линейный ограниченный оператор из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> (оба Банаховы). Тогда <tex>\exists A^{-1}:Y \to X,\; \|A^{-1}\| < +\infty</tex>
}}
 
===31. Теорема о замкнутом графике.===
 
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> непрерывен <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>G_A</tex> замкнут
}}
 
===32. Теорема об открытом отображении.===
 
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> непрерывен, <tex>G</tex> - открыто <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A(G)</tex> - открыто
}}
 
===33. Теорема об открытости резольвентного множества.===
 
{{Определение
|definition=
'''Резольвентное множество''' линейного оператора <tex>\rho(A) = \{\lambda \mid \exists (A - \lambda I)^{-1}</tex> - непрерывный<tex>\}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
'''Спектр''' линейного оператора <tex>\sigma(A) = \mathbb{R} \setminus \rho(A)</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>\rho(A)</tex> открыто
}}
 
===34. Вхождение спектра в круг радиуса ||А||.===
 
{{Лемма
|statement=
<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| \leq \|A\| \}</tex>
}}
 
===35. Спектральный радиус.===
 
{{Определение
|definition=
'''Спектральный радиус''' <tex>r_{\sigma}(A) = \inf\limits_n \sqrt[n]{\|A^n\|}</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Относительно спектрального радиуса любого линейного оператора верны следующие утверждения:
#<tex>r_{\sigma}(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A\|^n}</tex>
#<tex>\sigma(A) \subset \{\lambda \mid |\lambda| \leq r_{\sigma}(A) \}</tex>
}}
 
===36. Аналитичность резольвенты.===
 
эммм...
 
===37. Непустота спектра ограниченного оператора.===
 
эммм...
 
===38. А* и его ограниченность.===
 
{{Определение
|definition=
'''Сопряженным''' к оператору <tex>A : X \to Y</tex> называется такой оператор <tex>A^* : Y^* \to X^*</tex>, что <tex>A^* \varphi = \varphi \circ A</tex>, то есть <tex>A^*\varphi = f : f(x) = \varphi(Ax)</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>\|A\|=\|A^*\|</tex>
}}
 
===39. Ортогональные дополнения Е и Е*.===
 
{{Определение
|definition=
'''Ортогональным дополнением''' линейного множества <tex>M \subset E</tex> называется множество <tex>M^{\perp} = \{f \in E^* \mid \forall x \in M f(x) = 0\}</tex>.
<tex>M^{*\perp} = \{x \in E \mid \forall f \in M^* f(x) = 0\}</tex>. Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>E^{\perp} = \{0\},\; E^{*\perp} = \{0\}</tex>
}}
 
===40. Ортогональное дополнение R(A).===
 
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - ограниченный ЛО, <tex>R(A)</tex> замкнуто. Тогда <tex>R(A) = (Ker A^*)^{\perp}</tex>
}}
 
===41. Ортогональное дополнение R(A*).===
 
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> - ограниченный ЛО, <tex>R(A)</tex> замкнуто. Тогда <tex>R(A^*) = (Ker A)^{\perp}</tex>
}}
 
===42. Арифметика компактных операторов.===
 
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''компактен''', если <tex>\forall G : G</tex> - ограниченное <tex>\Rightarrow A(G)</tex> - относительно компактно
}}
{{Лемма
|statement=
Компактные операторы обладают следующими свойствами:
#<tex>A</tex> - компактный, <tex>B</tex> - ограниченный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>AB</tex> и <tex>BA</tex> - компактные
#<tex>A_n</tex> - компактные, <tex>A_n \to A</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A</tex> - компактный
#<tex>A : X \to Y</tex> - компактный, <tex>X</tex> - бесконечномерно <tex>\Rightarrow</tex> оператор <tex>A</tex> не может быть непрерывно обратим
}}
 
===43. О компактности А*, сепарабельность R(A).===
 
{{Теорема
|statement=
<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>A^*</tex> - компактный
}}
 
===44. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.===
 
{{Определение
|definition=
Система точек <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots \} \subset X</tex> называется '''базисом Шаудера''', если любой элемент пространства <tex>X</tex> единственным образом представим в виде линейной комбинации этих точек
}}
 
===45. Почти конечномерность компактного оператора.===
 
{{Теорема
|statement=
<tex>X</tex> - пространство с базисом Шаудера, <tex>A : X \to X</tex> - компактный <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\forall \varepsilon \; \exists B, C : A = B+C,\; \|C\| < \varepsilon,\; B</tex> - конечномерный (то есть <tex>R(B)</tex> конечномерно), <tex>B</tex> и <tex>C</tex> компактны
}}
 
===46. О размерности Ker(I-A) компактного А.===
 
{{Лемма
|statement=
<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow \dim(Ker (I - A)) < +\infty</tex>
}}
 
===47. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения.===
 
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A \in L(E, F) </tex>, и <tex> \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| , Ax=y</tex>. Тогда <tex> R(A) </tex> - замкнуто.
}}
 
===48. О замкнутости R(I-A) компактного А.===
 
{{Лемма
|statement=
Пусть оператор <tex> A </tex> - компактный. Тогда <tex> R(I - A) </tex> - замкнуто
}}
 
===49. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А.===
 
{{Лемма
|statement=
Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда <tex> \exists k : Ker(I - A)^{k + 1} = Ker(I - A)^k</tex>
}}
 
===50. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е.===
 
{{Лемма
|statement=
Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда <tex> R(I - A) = X \Leftrightarrow Ker(I - A) = \{0\}</tex>
}}
 
===51. Альтернатива Фредгольма-Шаудера.===
 {{Теорема|author=альтернатива Фредгольма - Шаудера|statement=Пусть <tex>A : X \to X</tex> - компактный. Рассмотрим уравнение <tex>y = x - Ax</tex>. Возможны 2 случая:#<tex>Ker(I-A) = \{0\}</tex>. Тогда уравнение имеет решение при любом <tex>y</tex>#<tex>Ker(I-A) \neq \{0\}</tex>. Тогда уравнение имеет решение при <tex>y \in (Ker (I-A)^*)^{\perp}</tex>}} ===52. О спектре компактного оператора.===  {{Теорема|statement=Пусть оператор <tex>A</tex> - компактный. Тогда его спектр не более, чем счетный, и предельной точкой в нем может быть только <tex>0</tex>}} 
'''Def.''' <tex> m_{-} = \inf_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle</tex>
'''Def.''' <tex> m_{-+} = \sup_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle</tex>
'''Def.''' Если для некоторого оператора <tex>L : \langle Ax, x \rangle \ge 0 </tex>, то <tex>L</tex> называется '''неотрицательным'''.
Анонимный участник
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/6584...55577»

Навигация