Изменения
→46. О размерности Ker(I-A) компактного А.
Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru
==Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)==
===5. Компактность прямоугольника в <tex>R^{\infty}</tex>.===
===6. Постранство S(E, <tex>\mu</tex>).===
|author=Рисс, о почти перпендикуляре
|statement=
<tex>Y</tex> - собственное подпространство <tex>X \Rightarrow \forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z_{\varepsilon}z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)
|proof=
<tex>\forall z \notin Y \; \forall \varepsilon\; \exists y_{\varepsilon} \in Y : \rho(z, Y) \leq \|z - y_{\varepsilon}\| \leq \frac{1}{1 - \varepsilon} \cdot \rho(z, Y)</tex> (по свойствам inf). Тогда положим <tex>z_{\varepsilon}</tex> из условия леммы равным <tex>\frac{z - y_{\varepsilon}}{\|z - y_{\varepsilon}\|}</tex>
===13. Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.===
===14. Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.===
{{Лемма
|statement=
В гильбетовом гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно
}}
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''компактен''', если <tex>\forall G : G</tex> - открытое ограниченное <tex>\Rightarrow A(G)</tex> - относительно компактно
}}
{{Лемма
{{Определение
|definition=
Система точек <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots \} \subset X</tex> называется '''базисом Шаудера''', если любой элемент пространства <tex>X</tex> единственным образои образом представим в виде линейной комбинации этих точек
}}
{{Лемма
|statement=
<tex>A</tex> - компактный <tex>\Rightarrow \dim(Ker (I - A)) < +\infty</tex>
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A \in L(E, F) </tex>, и <tex> \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| , Ax=y</tex>. Тогда <tex> R(A) </tex> - замкнуто.
}}
'''Def.''' <tex> m_{-} = \inf_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle</tex>
'''Def.''' <tex> m_{-+} = \sup_{\|x\| = 1}\langle Ax, x \rangle</tex>
'''Def.''' Если для некоторого оператора <tex>L : \langle Ax, x \rangle \ge 0 </tex>, то <tex>L</tex> называется '''неотрицательным'''.
