Изменения

Функция Эйлера от натурального числа <tex>n\varphi (a) </tex> возвращает количество натуральных определяется для всех целых положительных '''a''' и представляет собою число чисел, не превосходящих ряда <tex>n0, 1, \ldots, a-1 </tex>, и взаимнопростых взаимно простых с ним'''a'''.

Обозначают ==== Примеры: ====<tex> \varphi (1) = 1</tex>, <tex> \varphi (4) = 2</tex>,<mathbr><tex>\phivarphi (n2) = 1</tex>, <tex> \varphi (5) = 4</tex>,<br><tex> \varphi (3) = 2</tex>, <tex> \varphi (6)= 2</mathtex>.<br>===Некоторые свойства= Свойства функции Эйлера ====#*1. '''Доказательство:''' <mathtex>\phivarphi (p) = p-1 </tex>, p {{---}} [[Простые числа|простое]], <tex> \varphi (p^a{\alpha})=p^a*({\alpha} - p^{\alpha -1)}</mathtex> - где .** Логически понятно, если строго, то выводится из 2 свойства.*2. Пусть <mathtex>pa = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\inalpha_2} \mathbbldots {p_k}^{P\alpha_k}</mathtex>.— каноническое разложение числа '''a''', тогда#Мультипликативность: <mathcenter><tex>\phivarphi (mna)=a(1 - \phifrac{1}{p_1}) (m1 - \frac{1}{p_2})\phildots (n1 - \frac{1}{p_k})</tex>. </center> ** '''Доказательство:''' Пусть <tex> x </tex> пробегает числа <tex> 0,1,2,\ldots,a-1</tex>, положим <tex> \sigma_x = (a, x)</mathtex> {{--- только для взаимнопростых }} [[Наибольший общий делитель|НОД]]. Тогда <tex> \varphi(a) </tex> есть число значений <tex> \sigma_x </tex>, равных единице. Возьмем функцию, которая равна единице, если <tex>m\sigma_x = 1</tex> , и равна нулю в остальных случаях. Вот такая функция : <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex> #Теорема Эйлера: , где <mathtex>\mu(a^) </tex> {{---}} [[Функция Мебиуса|функция Мебиуса]]. Отсюда <tex> \phivarphi(na)= \sum_{0 \le x \le a-1}(\sum_{d | a} \mu(d))</tex>. Поскольку справа сумма в скобках берется по всем делителям '''d''' числа <tex> \sigma_x =1(nx , a )</mathtex>, то '''d''' делит '''x''' и '''a''' . Значит в первой сумме справа в суммировании участвуют только те '''x''' , которые кратны '''d''' . Таких '''x''' среди чисел <tex> 0,1,2,\ldots,a- если 1</tex> ровно <tex>\frac{a}{d} </tex> и штук. Получается, что <tex> \varphi(a) = \sum_{d | a} \frac{a}{d}\mu(d) = a\sum_{d | a} \frac{\mu(d)}{d} = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>. *3. Функция Эйлера является [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативной]] <tex>n\varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex> взаимнопросты.#** Вытекает из первого свойства. ==== Еще примеры ====* <mathtex>\phivarphi(m^k60)=m^60(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{k3})(1 -\frac{1}{5}) = 16</tex>* <tex> \phivarphi(m81) = 81 - 27 = 54 </mathtex>