Изменения

*1. Функция Эйлера является '''Доказательство:''' <tex> \varphi (p) = p-1 </tex>, p {{---}} [[Мультипликативность функции, свертка ДирихлеПростые числа|мультипликативнойпростое]] , <tex> \varphi(a_1 a_2p^{\alpha}) = p^{\varphi(a_1)alpha} - p^{\varphi(a_2) alpha - 1}</tex>.** No answerЛогически понятно, если строго, то выводится из 2 свойства.

 ** '''Доказательство:''' Пусть <tex> x </tex> пробегает числа <tex> 0,1,2,\varphi (p) = pldots,a-1 </tex>, p положим <tex> \sigma_x = (a, x)</tex> {{---}} [[Простые числаНаибольший общий делитель|простоеНОД]]. Тогда <tex> \varphi(a) </tex> есть число значений <tex> \sigma_x </tex>, равных единице. Возьмем функцию, которая равна единице, несложно понятьесли <tex> \sigma_x = 1</tex>, что и равна нулю в остальных случаях. Вот такая функция : <tex> \varphi (p^sum_{d | n} \alpha}mu(d) = p^\begin{cases} 1,&n=1,\alpha} - p^{\alpha - 0,&n>1.\end{cases}</tex>. Отсюда по , где <tex> \mu(a) </tex> {{---}} [[Мультипликативность функции, свертка ДирихлеФункция Мебиуса|мультипликативностифункция Мебиуса]] . Отсюда <tex> \varphi (a) = (p_1^\sum_{0 \le x \alpha_1le a-1} - p_1^(\sum_{d | a} \alpha_1mu(d))</tex>. Поскольку справа сумма в скобках берется по всем делителям '''d''' числа <tex> \sigma_x = ( x , a )</tex>, то '''d''' делит '''x''' и '''a''' . Значит в первой сумме справа в суммировании участвуют только те '''x''' , которые кратны '''d''' . Таких '''x''' среди чисел <tex> 0,1,2,\ldots,a-1</tex> ровно <tex> \frac{a}{d} </tex> штук. Получается, что <tex> \varphi(a) = \sum_{d | a} \frac{a}{d}\mu(p_2^d) = a\sum_{d | a} \frac{\alpha_2mu(d)}{d} = a(1 - p_2^\frac{1}{p_1}) (1 - \alpha_2-frac{1}{p_2}) \ldots (p_k^1 - \frac{\alpha_k1} - {p_k^{\alpha_k-1})</tex>. *3. Функция Эйлера является [[Мультипликативность функции, выносим из каждой скобки свертка Дирихле|мультипликативной]] <tex> p_i^{\alpha_i}varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex>, получаем .** Вытекает из первого свойства. ==== Еще примеры ====* <tex> \varphi (a60) = a60(1 - \frac{1}{p_12}) (1 - \frac{1}{p_23}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k5})= 16</tex>* <tex> \varphi(81) = 81 - 27 = 54 </tex>.