Изменения

''Функция Эйлера '' <tex>\varphi (an) </tex> определяется для всех целых положительных '''a''' и представляет собою число как количество натуральных чисел ряда , не превосходящих <tex>0, 1, \ldots, a-1 n</tex>, и взаимно простых с '''a'''<tex>n</tex>.

{{Определение|definition=Функция <tex>f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z} </tex> называется ''мультипликативной'', если <tex>f(mn) =f(m)f(n)</tex> для любых взаимно простых <tex>m, n</tex>.}} {{Теорема|about =Мультипликативность функции Эйлера|statement = ПримерыДля любых взаимно простых чисел <tex>m, n</tex> : <math>\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)</math>|proof =Запишем <math>n \cdot m</math> натуральных чисел, не превосходящих <math>n \cdot m</math>, в виде прямоугольной таблицы с <math>n</math> столбцами и <math>m</math> строками, располагая первые <math>n</math> чисел в первой строке, вторые <math>n</math> чисел во второй и т.д.  Поскольку <math>n</math> и <math>m</math> взаимно просты, то целое <math>s</math> взаимно просто с <math>n \cdot m</math> тогда и только тогда, когда оно взаимно просто как с <math>n</math>, так и с <math>m</math>. Итак, нужно доказать, что количество чисел в таблице, взаимно простых с <math>n</math> и с <math>m</math> равно <math>\varphi(m)\varphi(n)</math>.  В данном доказательстве мы используем тот факт, что число <math>s</math> взаимно просто с натуральным <math>k</math> тогда и только тогда, когда остаток деления <math>s</math> на <math>k</math> тоже взаимно прост с <math>k</math>. Данный факт довольно очевиден и используется в [https://e-maxx.ru/algo/euclid_algorithm Алгоритме Евклида]. Теперь приступим непосредственно к доказательству. Число находящееся в <math>i</math>-ой строке и <math>j</math>-ом столбце нашей таблицы можно представить в виде <math>n(i - 1) + j</math>. Если это число взаимно просто с <math>n</math>, то и остаток этого числа по модулю <math>n</math> тоже взаимно прост с <math>n</math>. Но тогда и все числа в данном столбце тоже взаимно просты с <math>n</math>, так как весь столбец можно представить в виде арифметической прогрессии с разностью <math>n</math>, а при добавлении <math>n</math> остаток деления по модулю <math>n</math> не меняется. Поэтому, числа взаимно простые с <math>n</math> в таблице занимают ровно <math>\varphi(n)</math> столбцов. Перед тем как продолжить доказательство, давайте рассмотрим небольшое утверждение. Пусть нам даны <math>m</math> последовательных членов арифметической прогрессии <math>a, a + d, \dots , a + (m - 1)d</math>. Тогда, если <math>(d, m) =1</math>, то остатки всех этих <math>m</math> чисел по модулю <math>m</math> разные, а значит, образуют все множество остатков <math>\{0, \dots , m - 1\}</math>, причем каждый остаток получается ровно из одного из членов прогрессии. Воспользуемся данным утверждением, подставив разность арифметической прогресии <math>d =n</math>. Тогда в каждом из <math>\varphi(n)</math> столбцов есть ровно <math>\varphi(m)</math> чисел, взаимно простых с <math>m</math>. Следовательно всего чисел, взаимно простых и с <math>n</math> и с <math>m</math> равно <math>\varphi(m)\varphi(n)</math>, что и требовалось доказать.  }} == Функции <tex>\sigma(n)</tex>, <tex>\tau(n)</tex> и <tex> \varphi (1n) </tex>, их мультипликативность и значения == Каноническое разложение числа <tex>\displaystyle n = \prod_{i= 1}^{r}p_i^{s_i} </tex>, где <tex>r</tex> {{---}} количество простых делителей числа <tex>n</tex>, <tex>p_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>-ый простой делитель, <tex>s_i</tex> {{---}} максимальная степень вхождения этого простого делителя. ==== Функция <tex> \varphi sigma(n)</tex> ==== Функция <tex>\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N} </tex> определяется как сумма делителей натурального числа <tex>n</tex>:<center><tex>\displaystyle\sigma(4n) = 2\sum_{d | n}d </tex></center> Если <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты, то каждый делитель произведения <math>mn</math> может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей <math>m</math> и делителей <math>n</math>, и обратно, каждое такое произведение является делителем <math>mn</math>. Отсюда следует,что функция <tex>\sigma(n)<br/tex> мультипликативна: Для простого числа <math>p</math> легко посчитать <tex> \varphi displaystyle\sigma(2p) = p + 1</tex>, . При этом легко обобщается для некоторой степени <math>p</math>: <center><tex>\displaystyle\sigma(p^s) = \sum_{k=0}^{s}p^k = \frac{p^{s + 1} - 1}{p - 1} </tex></center> В силу мультипликативности функции:<center><tex> \displaystyle \sigma (n) = \prod_{i = 1}^{r}{\frac{p_{i}^{s_i+1}-1} {p_{i}-1}} </tex></center> ==== Функция <tex> \varphi tau(5n) </tex> === 4= Функция <tex>\tau: \mathbb{N} \to \mathbb{N} </tex>,определяется как число положительных делителей натурального числа <tex>n<br/tex>: <center><tex> \varphi displaystyle\tau(3n) = 2\sum_{d | n}1 </tex></center> Если <math>m</math> и <math>n</math> взаимно просты, то каждый делитель произведения <math>mn</math> может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей <math>m</math> и делителей <math>n</math>, и обратно, каждое такое произведение является делителем <math>mn</math>. Отсюда следует, что функция <tex> \varphi tau(n)</tex> мультипликативна:<center><math>\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)</math></center> Для простого числа <math>p</math> легко посчитать <tex>\displaystyle\tau(6p) = 2</tex>.При этом легко обобщается для некоторой степени <math>p<br/math>: <center><tex>\displaystyle\tau(p^s) =s + 1 </tex></center> В силу мультипликативности функции:<center><tex> \displaystyle \tau(n) = \prod_{i = 1}^{r}(s_i + 1) </tex></center> === Свойства функции Эйлера = Функция <tex>\varphi(n)</tex> ====*Для простого числа <math>p</math> легко посчитать <tex>\displaystyle\varphi(p) = p - 1</tex>. '''ДоказательствоНа некоторую степень <math>p</math> формулу можно обобщить:''' <center><tex> \displaystyle\varphi (p^s) = p^s - p^{s -1 } </tex></center>Обосновывается следующим образом: Все не взаимно простые с <math>p^s</math> числа в диапазоне от 1 до <math>p^s</math>, очевидно, кратны <math>p</math>. Всего таких чисел <math>p ^{s - 1}</math>. В силу мультипликативности функции:<center><tex> \displaystyle \varphi(n) = \prod_{i = 1}^{r}(p_i^{s_i} -p_i^{s_i -1}) = \prod_{i = 1}^{r}p_i^{s_i}(1 -\frac{1}{p_i} [[Простые ) = n\prod_{i = 1}^{r}(1 - \frac{1}{p_i}) </tex></center> == Малая теорема Ферма и теорема Эйлера == {{Теорема|about= Теорема Эйлера |statement = Если <math>n</math> и <math>a</math> {{---}} взаимно простые целые числа, то <math>a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (mod \ n)</math> |простое]proof =Число <math>\overline{x}</math> называется вычетом по модулю <math>n</math>, если <math>\overline{x} \equiv x \ (mod \ n)</math>. Вычет <math>\overline{x}</math> называется обратимым вычетом, если существует вычет <math>\overline{y}</math>, такой что <math>\overline{x}\overline{y} \equiv 1 \ (mod \ n)</math>. Заметим, что вычет <math>\overline{x}</math> обратим тогда и только тогда, когда <math>\overline{x}</math> и <math>n</math> взаимно просты. Это обосновывается тем, что данное выражение можно представить в виде [https://e-maxx.ru/algo/diofant_2_equation линейного диофантово уравнения второго порядка]<math>\overline{x}\cdot\overline{y} + m \cdot n = 1</math>. Как видно из статьи, решение существует только при <math>(\overline{x}, n) = 1</math>. В таком случае, у числа <math>n</math> существует всего <math>\varphi(n)</math> обратимых вычетов. Пусть <math>\mathbb{Z}_{n}^{*}</math> {{---}} множество всех обратимых вычетов по модулю <math>n</math>. Достаточно доказать данную теорему только для вычетов, так как мы знаем, что если остаток числа <math>a</math> по модулю <math>n</math> взаимно прост с <math>n</math>, то и само число взаимно просто с <math>n</math>. Напомним, что данный факт был ранее доказан в доказательстве мультипликативности функции Эйлера. Рассмотрим вычеты по модулю <math>n</math>. Так как <math>n</math> и <math>a</math> взаимно просты, то вычет <math>\overline{a}</math> обратим. Пусть <math>\overline{b_1}, \overline{b_2}, \dots , \overline{b_{\varphi(n)}}</math> {{---}} все обратимые вычеты по модулю <math>n</math>. Тогда вычет <math>\overline{b} = \overline{b_1}\overline{b_2}\dots\overline{b_{\varphi(n)}}</math>, равный произведению всех обратимых вычетов, тоже обратим. Заметим, что отображение <math>\mathbb{Z}_{n}^{*} \to \mathbb{Z}_{n}^{*}</math>, заданное формулой <math>\overline{x} \mapsto \overline{a}\cdot\overline{x}</math> является биекцией. Действительно, мы просто умножаем каждый остаток на какую-то константу, от этого множество вычетов не изменится. В таком случае в выражении <texmath> \overline{a}^{\varphi(n)}\overline{b} = (\overline{a} \overline{b_1}) \dots (\overline{a} \overline{b_{\varphi(n)}}) </math>, в правой части стоит произведение всех обратимых вычетов, но взятое в другом порядке. Тогда <math> \overline{a}^{\varphi (n)}\overline{b} = \overline{b}</math>. Умножая обе части на вычет, обратный к <math>\overline{b}</math>, получим, что <math>\overline{a}^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (mod \ n) </math>, что и требовалось доказать. }} Следствием теоремы Эйлера является малая теорема Ферма. У нее также есть доказательство без использования более общей теоремы Эйлера, однако его мы приводить не будем.  {{Теорема|about = Малая теорема Ферма |statement = Если целое число <math>a</math> и простое число <math>p</math> {{---}} взаимно просты, то <math>a^{p - 1} \equiv 1 \ (mod \alphap)</math> |proof = Так как <math>p</math> {{---}} простое, то <math>\varphi(p) = p- 1</math>. Воспользуемся теоремой Эйлера, тогда <math>a^{\alphavarphi(p)} = a^{p - 1} \equiv 1 \ (mod \ p)</math>, что и требовалось доказать. }} == Различные свойства функции Эйлера == {{Теорема|about =  |statement = Если для каких-то натуральных чисел <math>a</math> и <math>b</math> верно, что <math>a\,|\,b</math>, тогда верно и <math>\varphi(a)\,|\, \varphi(b)</math> |proof = Воспользуемся формулой для <tex> \displaystyle \varphi(n) = \prod_{i = 1}^{r}(p_i^{s_i} - p_i^{s_i - 1}) = \alpha prod_{i = 1}^{r}p_i^{s_i - 1}(p_i - 1) </tex>.** Логически понятно:<math>a = p_1^{\alpha_1} \cdot\ldots\cdot p_{r_a}^{\alpha_{r_a}},</math>:<math>b = p_1^{\beta_1} \cdot\ldots\cdot p_{r_b}^{\beta_{r_b}}</math> При этом, так как <math>a\,|\, если строгоb</math>, то выводится из <math>r_a \leq r_b</math>, а также <math>\forall i \in [1\, ;\, r_a] \ \alpha_i \leq \beta_i</math> <math></math> Значит, <tex>\displaystyle\frac{\varphi(b)}{\varphi(a)}</tex><tex>\displaystyle = \frac{\displaystyle\prod_{i = 1}^{r_b}p_i^{\beta_i - 1}(p_i - 1)}{\displaystyle\prod_{i = 1}^{r_a}p_i^{\alpha_i - 1}(p_i - 1)} = \displaystyle(\prod_{i = 1}^{r_a}p_i^{\beta_i - \alpha_i}) \cdot \displaystyle(\prod_{i = r_a + 1}^{r_b}p_i^{\beta_i - 1}(p_i - 1))</tex>, а значит, <math>\varphi(a)\,|\, \varphi(b)</math>, что и требовалось доказать. }} {{Теорема|about =  |statement = Для любого натурального числа <math>n</math> выполнено равенство <math>\displaystyle n = \sum_{d | n} \varphi(d)</math> |proof = Данную теорему можно доказать разложив по формуле <math>\varphi(d)</math>, а можно более элегантно: Рассмотрим <math>n</math> дробей <math>\frac{1}{n}, \frac{2 свойства}{n}, \dots , \frac{n}{n}</math>. Каждую дробь представим в виде несократимой дроби <math>\frac{p}{q}</math>.*2Заметим, что множество значений <math>q</math> {{---}} это множество делителей числа <math>n</math>. Так как дробь <math>\frac{p}{q}</math> несократима, то <math>p</math> и <math>q</math> взаимно просты. Зная, что <math>p \leq q</math>, легко понять, что всего дробей со знаменателем <math>q</math> ровно <math>\varphi(q)</math>. Так как, все <math>n</math> дробей мы представили в несократимом виде, где знаменатель является делителем <math>n</math>, то <math>\displaystyle \sum_{d | n} \varphi(d) = n</math>, так как всего дробей <math>n</math>, что и требовалось доказать.  }} : {{Теорема|about = Обобщённая мультипликативность |statement = Пусть <math>n</math> и <math>m</math> {{---}} любые два натуральных числа, а <math>d = (n,\ m)</math>, тогда:: <math>\varphi(m \cdot n) = \varphi(m) \cdot \varphi(n)\cdot\frac{d}{\varphi(d)}</math> |proof =  Пусть <texmath>(m,\,n)=d,</math> тогда <math>m = m'd, \; n = n'd,</math> причем в общем случае <math>(m',\,d) \neq 1</math> и <math>(n',\,d) \neq 1.</math> Поэтому можно записать::<math> a d = d_1^{p_1\delta_1}\cdot\ldots\cdot d_k^{\alpha_1delta_k} \cdot d_{p_2k+1}^{\alpha_2delta_{k+1}} \cdot\ldots \cdot d_{K}^{\delta_{K}},</math>:<math>m' = d_1^{p_k\alpha_1}\cdot\ldots\cdot d_k^{\alpha_k}\cdot p_1^{\beta_1} \cdot\ldots\cdot p_r^{\beta_r},</texmath>:<math> — каноническое разложение числа n'= d_{k+1}^{\gamma_{k+1}} \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\gamma_{K}} \cdot q_1^{\varepsilon_1} \cdot\ldots\cdot q_s^{\varepsilon_s}.</math>Здесь первые <math>k</math> делителей <math>d</math> являются также делителями <math>m',</math> а последние <math>K-k</math> делителей <math>d</math> являются делителями <math>n'a'.</math> Распишем::<math>\varphi(mn)= \varphi(d^2 \cdot m'n')= \varphi((d_1^{\delta_1} \cdot\ldots\cdot d_k^{\delta_k} \cdot d_{k+1}^{\delta_{k+1}} \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\delta_{K}})^2 \cdot d_1^{\alpha_1} \cdot\ldots\cdot d_k^{\alpha_k} \cdot p_1^{\beta_1} \cdot\ldots\cdot p_r^{\beta_r} \cdot d_{k+1}^{\gamma_{k+1}} \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\gamma_{K}} \cdot q_1^{\varepsilon_1} \cdot\ldots\cdot q_s^{\varepsilon_s}).</math>В силу мультипликативности функции Эйлера, а также с учётом формулы:<math>\varphi(p^n) = p^n(1-\frac{1}{p}), тогда</math>где <math>p<center/math>— простое, получаем::<texmath> \begin{align}\varphi (amn)  &= ad_1^{\alpha_1+\delta_1}\left(1-\frac{1}{d_1}\right) \cdot\ldots\cdot d_k^{\alpha_k+\delta_k}\left(1-\frac{1}{d_k}\right) \cdot p_1^{\beta_1}\left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \cdot\ldots\cdot p_r^{\beta_r}\left(1 - \frac{1}{p_2p_r}\right) \cdot d_{k+1}^{\delta_{k+1}}\left(1-\frac{1}{d_{k+1}}\right) \cdot\ldots \cdot d_{K}^{\delta_{K}}\left(1 - \frac{1}{p_kd_{K}}\right)\times \\ &\; \times \; d_{k+1}^{\gamma_{k+1}+\delta_{k+1}}\left(1-\frac{1}{d_{k+1}}\right) \cdot\ldots\cdot d_{K}^{\gamma_{K}+\delta_{K}}\left(1-\frac{1}{d_{K}}\right) \cdot q_1^{\varepsilon_1}\left(1-\frac{1}{q_1}\right) \cdot\ldots\cdot q_s^{\varepsilon_s}\left(1-\frac{1}{q_s}\right) \cdot d_1^{\delta_1}\left(1-\frac{1}{d_1}\right) \cdot\ldots\cdot d_{k+1}^{\delta_{k+1}}\left(1-\frac{1}{d_{k+1}}\right)\times \\ &\; \times \; \frac{1}{\left(1-\frac{1}{d_1}\right) \cdot\ldots\cdot \left(1-\frac{1}{d_K}\right)}\end{align}</math>В первой строке записано <math>\varphi(m),</math> во второй — <math>\varphi(n),</math> а третью можно представить, как <math>\frac{d}{\varphi(d)}.</math> Поэтому::<math>\varphi(m \cdot n) = \varphi(m) \cdot \varphi(n) \cdot \frac{d}{\varphi(d)}</math> }} == Применение теоремы Эйлера в других задачах == ==== Задача об ожерельях ==== {{Задача|definition=Требуется посчитать количество ожерелий из <tex>n</tex> бусинок, каждая из которых может быть покрашена в один из <tex> k </tex> цветов. При сравнении двух ожерелий их можно поворачивать, но не переворачивать (т.е. разрешается сделать циклический сдвиг).}} В ходе решения задачи мы приходим к формуле <tex>|C| =</tex> <tex> \dfrac{1} {n}</tex><tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} k^{\mathrm{gcd}(i,n)}</tex> Мы можем улучшить эту формулу, если рассмотрим выражение <math>\mathrm{gcd}(i,n)</math>. Пусть <math>\mathrm{gcd}(i,n) = q</math>, тогда числа <math>i</math> и <math>n</math> оба делятся на <math>q</math> и больше не имеют общих делителей. Тогда <math>\mathrm{gcd}(\frac{i}{q},\frac{n}{q}) = 1</math>. Таких натуральных <math>i \in [1 ; n]</math> и имеющих <math>\mathrm{gcd}(i,n) = q</math> ровно <tex>\varphi\left(\dfrac{n}{q}\right)</tex>.  Пользуясь функцией Эйлера, мы можем привести формулу к более лаконичному виду <tex>|C| =</tex> <tex> \dfrac{1} {n}</centertex><tex>\sum\limits_{q|n}\varphi\left(\dfrac{n}{q}\right)k^q</tex>. == Алгоритм ==Основной идеей алгоритма является формула <tex> \displaystyle \varphi(n) = n\prod_{i = 1}^{r}(1 - \frac{1}{p_i}) </tex>. Для решения задачи нам нужны только простые делители числа <math>n</math>. Их можно найти с помощью алгоритма факторизации. Написанный ниже алгоритм использует факторизацию числа, работающую за <math>O(\sqrt{n})</math>, однако есть более [https://e-maxx.ru/algo/factorization эффективные алгоритмы]. Асимптотика вычисления <math> \displaystyle \varphi(n) = O(\sqrt{n})</math>.

** '''Доказательство:function''' Пусть <tex> x </tex> пробегает числа <tex> 0,1,2,\ldots,a-1</tex>, положим <tex> \sigma_x = phi (a, x)</tex> {{---}} [[Наибольший общий делитель|НОД]]. Тогда <tex> \varphi(an) </tex> есть число значений <tex> \sigma_x </tex>, равных единице. Возьмем функцию, которая равна единице, если <tex> \sigma_x = 1</tex>, и равна нулю в остальных случаях. Вот такая функция : <tex>\sum_{d | n} \mu(d) result = \begin{cases} 1,&n i =1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>, где <tex> \mu(a) </tex> {{---}} [[Функция Мебиуса|функция Мебиуса]]. Отсюда <tex> \varphi(a) = \sum_{0 \le x \le a-1}(\sum_{d | a} \mu(d))</tex>. Поскольку справа сумма в скобках берется по всем делителям 2 '''dwhile''' числа (i*i <tex> \sigma_x = ( x , a n)</tex>, то : '''dif''' делит n % i == 0: '''xwhile''' и n % i == 0: n /= i result -= result / i i++ '''aif''' . Значит в первой сумме справа в суммировании участвуют только те '''x''' , которые кратны '''d''' . Таких (n > 1): result -= result/n '''xreturn''' среди чисел <tex> 0,1,2,\ldots,a-1</tex> ровно <tex> \frac{a}{d} </tex> штук. Получается, что <tex> \varphi(a) = \sum_{d | a} \frac{a}{d}\mu(d) = a\sum_{d | a} \frac{\mu(d)}{d} = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>.result

== См. также ==*3. Функция Эйлера является [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативнойЗадача об ожерельях]] <tex> \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex>.** Вытекает из первого свойства.

=== Еще примеры =Ссылки ==* <tex> \varphi(60) = 60(1 - \frac[https://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Эйлера Wikipedia {1}{2})(1 - \frac{1--}{3})(1 Функция Эйлера]* [https://e- \frac{1}{5}) = 16<maxx.ru/algo/tex>euler_function Алгоритм нахождения функции Эйлера]* [https://wikichi.ru/wiki/Divisor_function Функция <texmath> \varphi(81) = 81 - 27 = 54 sigma</texmath>]