== Функция Эйлера ==
{{Определение
|definition=
'''Функция Эйлера''' от натурального числа <tex>n\varphi (a) </tex> возвращает количество натуральных определяется для всех целых положительных '''a''' и представляет собою число чисел, не превосходящих ряда <tex>n0, 1, \ldots, a-1 </tex>, и [[взаимно простые числа|взаимно простых]] с ним'''a'''.
}}
Обозначают <tex>\phi(n)</tex>.
===Свойства===
* <tex>\phi(p^a)=p^a(p-1)</tex>, где <tex>p\in\mathbb{P}</tex>,
* [[Мультипликативная функция|Мультипликативность]]: <tex>\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)</tex> для взаимно простых <tex>m</tex> и <tex>n</tex>,
* [[Теорема Эйлера]]: <tex>a^{\phi(n)}=1 \pmod n</tex> для <tex>a</tex> и <tex>n</tex> взаимно простых,
* <tex>\phi(m^k)=m^{k-1}\phi(m) </tex>.
[[Категория==== Примеры: Теория чисел]]====<tex> \varphi (1) = 1</tex>, <tex> \varphi (4) = 2</tex>,<br><tex> \varphi (2) = 1</tex>, <tex> \varphi (5) = 4</tex>,<br><tex> \varphi (3) = 2</tex>, <tex> \varphi (6) = 2</tex>.<br>==== Свойства функции Эйлера ====*1. Функция Эйлера является мультипликативной <tex> \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex>.*2. Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''', тогда<tex> \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>
