175
правок
Изменения
→Свойства функции Эйлера
<tex> \varphi (3) = 2</tex>, <tex> \varphi (6) = 2</tex>.<br>
==== Свойства функции Эйлера ====
*1. Функция Эйлера является [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативной ]] <tex> \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex>.
*2. Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''', тогда
<tex> \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>
** <tex> \varphi (p) = p-1 </tex>, p {{---}} [[Простые числа|простое]] несложно понять, что <tex> \varphi (p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\alpha - 1}</tex>. Отсюда по [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативности]] <tex> \varphi (a) = (p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1-1}) (p_2^{\alpha_2} - p_2^{\alpha_2-1}) \ldots (p_k^{\alpha_k} - p_k^{\alpha_k-1})</tex>, выносим из каждой скобки <tex> p_i^{\alpha_i}</tex>, получаем <tex> \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>.
