Хеш-таблица — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (Хеширование в современных языках программирования)
 
(не показано 39 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Хеш-табли́ца''' {{---}} структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива. Представляет собой эффективную структуру данных для реализации словарей, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления пары по ключу.
+
{{Определение
 +
|definition='''Хеш-табли́ца''' (англ. ''hash-table'') {{---}} структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива. В отличие от [[Дерево_поиска,_наивная_реализация|деревьев поиска]], реализующих тот же интерфейс, обеспечивают меньшее время отклика в среднем. Представляет собой эффективную структуру данных для реализации словарей, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления пары по ключу.
 +
}}
  
 
=== Введение ===
 
=== Введение ===
Существует два основных вида хеш-таблиц: ''с цепочками'' и ''открытой адресацией''. Хеш-таблица содержит некоторый массив <tex>H</tex>, элементы которого есть пары (хеш-таблица с открытой адресацией) или списки пар (хеш-таблица с цепочками).
+
Существует два основных вида хеш-таблиц: [[Разрешение_коллизий#Разрешение коллизий с помощью цепочек|''с цепочками'']] и [[Разрешение_коллизий#Линейное разрешение коллизий|''открытой адресацией'']]. Хеш-таблица содержит некоторый массив <tex>H</tex>, элементы которого есть пары (хеш-таблица с открытой адресацией) или списки пар (хеш-таблица с цепочками).
  
 
Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа. Хеш-код <tex>i = h(key)</tex> играет роль индекса в массиве <tex>H</tex>, а зная индекс, мы можем выполнить требующуюся операцию (добавление, удаление или поиск).
 
Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа. Хеш-код <tex>i = h(key)</tex> играет роль индекса в массиве <tex>H</tex>, а зная индекс, мы можем выполнить требующуюся операцию (добавление, удаление или поиск).
  
Количество коллизий зависит от хеш-функции; чем лучше используемая хеш-функция, тем меньше вероятность их возникновения. При вставке в хеш-таблицу размером 365 ячеек всего лишь 23-х элементов вероятность коллизии превышает 50%<ref>
+
Количество коллизий зависит от хеш-функции; чем лучше используемая хеш-функция, тем меньше вероятность их возникновения.  
<tex>p(n) = 1 - 1 \cdot \left(1-\frac{1}{len}\right) \cdot \left(1-\frac{2}{len}\right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{len}\right) = { len \cdot len-1 \cdots (len-n+1) \over len^n } </tex> <tex> = { len! \over len^n \cdot (len-n)!},</tex><br>
+
{{Лемма
где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в хеш-таблице, а <tex>len</tex> {{---}} её размер.</ref> (при равномерном распределении значений хеш-функции)<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_дней_рождения Парадокс дней рождения {{---}} Википедия]</ref>. Способ разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.
+
|statement=Вероятность коллизий при вставке в хеш-таблицу превышает 50%
 +
|proof=
 +
 
 +
Пусть хеш-таблица имеет размер <tex>len</tex> и в нее добавляют <tex>n</tex> элементов. Рассмотрим <tex>{p}'(n)</tex> — вероятность того, что не возникнет ни одной коллизии. Добавим два любых элемента в нашу хеш-таблицу. Вероятность того, что они не попадут в одну и ту же ячейку таблицы равна <tex>1 - \dfrac{1}{len}</tex>. Возьмем еще один элемент. Тогда вероятность того, что третий элемент не попадет в одну из уже занятых ячеек равна <tex>1 - \dfrac{2}{len}</tex>. Рассуждая аналогичным образом, получим формулу:
 +
<tex>{p}'(n) = \left( 1 - \dfrac{1}{len}\right )\cdot \left( 1 - \dfrac{2}{len}\right )\dots\left( 1 - \dfrac{n - 1}{len}\right ) = \dfrac{len \cdot \left(len - 1 \right )\dots\left (len - n + 1 \right )}{len^{n}} = \dfrac{len!}{len^{n} \cdot \left (len - n \right)!}</tex>
 +
 
 +
Тогда <tex>{p}(n)</tex> — вероятность возникновения коллизии равна:
 +
<tex>p(n) = 1 - {p}'(n)</tex>,
 +
что в общем случае <tex> > \dfrac{1}{2}</tex>
 +
}}
 +
 
 +
Способ разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.
  
 
Полностью избежать коллизий для произвольных данных невозможно в принципе, и хорошая хеш-функция в состоянии только минимизировать их количество. Но, в некоторых специальных случаях их удаётся избежать. Если все ключи элементов известны заранее, либо меняются очень редко, то можно подобрать хеш-функцию, с помощью которой, все ключи будут распределены по хеш-таблице без коллизий. Это хеш-таблицы с ''прямой адресацией''; в них все операции, такие как: поиск, вставка и удаление работают за <tex>O(1)</tex>.
 
Полностью избежать коллизий для произвольных данных невозможно в принципе, и хорошая хеш-функция в состоянии только минимизировать их количество. Но, в некоторых специальных случаях их удаётся избежать. Если все ключи элементов известны заранее, либо меняются очень редко, то можно подобрать хеш-функцию, с помощью которой, все ключи будут распределены по хеш-таблице без коллизий. Это хеш-таблицы с ''прямой адресацией''; в них все операции, такие как: поиск, вставка и удаление работают за <tex>O(1)</tex>.
Строка 15: Строка 28:
  
 
=== Хеширование ===
 
=== Хеширование ===
 +
'''Хеширование''' (англ. ''hashing'') {{---}} класс методов поиска, идея которого состоит в вычислении хеш-кода, однозначно определяемого элементом с помощью хеш-функции, и использовании его, как основы для поиска (индексирование в памяти по хеш-коду выполняется за <tex>O(1)</tex>). В общем случае, однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов исходных данных, поэтому существуют элементы, имеющие одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии, но если два элемента имеют разный хеш-код, то они гарантированно
 +
различаются. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций. Для того чтобы коллизии не замедляли работу с таблицей существуют [[Разрешение коллизий|методы для борьбы с ними]].
  
'''Хеширование''' {{---}} класс методов поиска, идея которого состоит в вычислении хеш-кода, однозначно определяемого элементом с помощью хеш-функции, и использовании его, как основы для поиска (индексирование в памяти по хеш-коду выполняется за <tex>O(1)</tex>). В общем случае, однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов исходных данных, поэтому существуют элементы, имеющие одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии, но если два элемента имеют разный хеш-код, то они гарантированно
 
различаются. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций.
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def1
 
|id=def1
|definition=<tex>U </tex> {{---}} множество объектов (универсум).<br> <tex>h : U \rightarrow S = \mathcal {f} 0 ... m - 1 \mathcal {g}</tex> {{---}} называется хеш-функцией, где множество <tex>S</tex> хранит ключи из множества <tex>U</tex>.<br> Если <tex>x \in U</tex> значит <tex>h(x) \in S</tex> <br> '''Коллизия:''' <tex>\exists x \neq y : h(x) = h(y)</tex>
+
|definition=<tex>U </tex> {{---}} множество объектов (универсум).<br> <tex>h : U \rightarrow S = \mathcal {f} 0 \dots m - 1 \mathcal {g}</tex> {{---}} называется хеш-функцией, где множество <tex>S</tex> хранит ключи из множества <tex>U</tex>.<br> Если <tex>x \in U</tex> значит <tex>h(x) \in S</tex> <br> '''Коллизия''' (англ. ''collision''): <tex>\exists x \neq y : h(x) = h(y)</tex>
 
}}
 
}}
 
==== Виды хеширования ====
 
==== Виды хеширования ====
 
* По способу хранения:
 
* По способу хранения:
** Статическое {{---}} фиксированное количество элементов. Один раз заполняем хеш-таблицу и осуществляем только проверку на наличие в ней нужных элементов.
+
Статическое {{---}} фиксированное количество элементов. Один раз заполняем хеш-таблицу и осуществляем только проверку на наличие в ней нужных элементов,
** Динамическое {{---}} добавляем, удаляем и смотрим на наличие нужных элементов.
+
 
 +
Динамическое {{---}} добавляем, удаляем и смотрим на наличие нужных элементов.
 
* По виду хеш-функции:
 
* По виду хеш-функции:
** Детерминированная хеш-функция.
+
Детерминированная хеш-функция,
** Случайная хеш-функция.
+
 
 +
Случайная хеш-функция.
  
 
=== Свойства хеш-таблицы ===
 
=== Свойства хеш-таблицы ===
  
На поиск элемента в хеш-таблице в худшем случае, может потребоваться столько же времени, как и в списке, а именно <tex>\Theta(n)</tex>, но на практике хеширование более эффективно. При некоторых разумных допущениях математическое ожидание времени поиска элемента в хеш-таблице составляет <tex>O(1)</tex>. А все операции (поиск, вставка и удаление элементов) в среднем выполняются за время <tex>O(1)</tex>.
+
На поиск элемента в хеш-таблице в худшем случае, может потребоваться столько же времени, как и в списке, а именно <tex>\Theta(n)</tex>, но на практике хеширование более эффективно. При некоторых разумных допущениях [[Математическое_ожидание_случайной_величины|математическое ожидание]] времени поиска элемента в хеш-таблице составляет <tex>O(1)</tex>. А все операции (поиск, вставка и удаление элементов) в среднем выполняются за время <tex>O(1)</tex>.
 
При этом не гарантируется, что время выполнения отдельной операции мало́, так как при достижении некоторого значения коэффициента заполнения необходимо [[Перехеширование. Амортизационный анализ|перехешировать]] таблицу: увеличить размер массива <tex>H</tex> и заново добавить в новую хеш-таблицу все пары.
 
При этом не гарантируется, что время выполнения отдельной операции мало́, так как при достижении некоторого значения коэффициента заполнения необходимо [[Перехеширование. Амортизационный анализ|перехешировать]] таблицу: увеличить размер массива <tex>H</tex> и заново добавить в новую хеш-таблицу все пары.
  
== Разрешение коллизий ==
+
===Хеширование в современных языках программирования===
 
 
=== Разрешение коллизий с помощью цепочек ===
 
[[Файл:open_hash.png|thumb|380px|right|Разрешение коллизий при помощи цепочек.]]
 
Каждая ячейка <tex>i</tex> массива <tex>H</tex> содержит указатель на начало списка всех элементов, хеш-код которых равен <tex>i</tex>, либо указывает на их отсутствие. Коллизии приводят к тому, что появляются списки размером больше одного элемента.
 
 
 
Время, необходимое для вставки в наихудшем случае равно <tex>O(1)</tex>. Это операция выполняет быстро, так как считается, что вставляемый элемент отсутствует в таблице, но если потребуется, то перед вставкой мы можем выполнить поиск этого элемента.
 
 
 
Время работы поиска в наихудшем случае пропорционально длине списка, а если все <tex>n</tex> ключей захешировались в одну и ту же ячейку (создав список длиной <tex>n</tex>) время поиска будет равно <tex>\Theta(n)</tex> плюс время вычисления хеш-функции, что ничуть не лучше, чем использование связного списка для хранения всех <tex>n</tex> элементов.
 
 
 
Удаления элемента может быть выполнено за <tex>O(1)</tex>, как и вставка, при использовании двухсвязного списка.
 
 
 
=== Линейное разрешение коллизий ===
 
[[Файл:close_hash.png|thumb|380px|right|Пример хеш-таблицы с открытой адресацией и линейным пробированием.]]
 
Все элементы хранятся непосредственно в хеш-таблице, без использования связных списков. В отличии от хеширования с цепочками, при использовании этого метода может возникнуть ситуация, когда хеш-таблица окажется полностью заполненной, следовательно будет невозможно добавлять в неё новые элементы. Так что при возникновении такой ситуации решением может быть динамическое увеличение размера хеш-таблицы, с одновременной её перестройкой.
 
 
 
Рассмотрим один из таких методов.<ref>Другой метод борьбы с коллизиями {{---}} [[Разрешение_коллизий#Двойное хеширование| двойное хеширование]]</ref>
 
 
 
В массиве <tex>H</tex> хранятся сами пары ключ-значение. Алгоритм вставки элемента проверяет ячейки массива <tex>H</tex> в заданном порядке до тех пор, пока не будет найдена первая свободная ячейка, в неё и будет записан новый элемент. Это позволяет сэкономить память на хранение указателей.
 
  
Последовательность, в которой просматриваются ячейки хеш-таблицы, называется последовательностью проб. В общем случае, она зависит только от ключа элемента, то есть это последовательность <tex>h_0(x)</tex>, <tex>h_1(x)</tex>, ...,<tex>h_n</tex><tex>_-</tex><tex>_1</tex><tex>(x)</tex>, где <tex>x</tex> — ключ элемента, а <tex>h_i(x)</tex> — произвольные функции, сопоставляющие каждому ключу ячейку в хеш-таблице. Первый элемент в последовательности, как правило, равен значению некоторой хеш-функции от ключа, а остальные считаются от него каким-нибудь способом. Для успешной работы алгоритмов поиска последовательность проб должна быть такой, чтобы все ячейки хеш-таблицы оказались просмотренными ровно по одному разу.<ref>[[Разрешение коллизий]]</ref>
+
Почти во всех современных языках присутствуют классы, реализующие хеширование. Рассмотрим некоторые из них.
 +
*Java
 +
**HashMap  <ref>[http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/HashMap.html HashMap {{---}} Java Platform SE 7]</ref> {{---}} реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,
 +
**HashSet <ref>[http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/HashSet.html HashSet {{---}} Java Platform SE 7]</ref> {{---}} реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы,
 +
**LinkedHashMap <ref>[http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/LinkedHashMap.html LinkedHashMap {{---}} Java Platform SE 7]</ref> {{---}} потомок класса HashMap. Позволяет просматривать значения в том порядке, в котором они были добавлены.
 +
*C++
 +
**unordered_map <ref>[http://www.cplusplus.com/reference/unordered_map/unordered_map/ unordered_map {{---}} cplusplus.com]</ref> {{---}} реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,
 +
**unordered_set  <ref>[http://www.cplusplus.com/reference/unordered_map/unordered_set/ unordered_set {{---}} cplusplus.com]</ref> {{---}} реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы.
 +
*Python (CPython)
 +
**dict <ref>[https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/dictobject.c#L1 dictobject.c {{---}} https://github.com/python/cpython]</ref> {{---}} реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,
 +
**set <ref>[https://hg.python.org/releasing/3.6/file/tip/Objects/setobject.c setobject.c {{---}} https://hg.python.org ] </ref> {{---}} реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы.
  
 
== Примечания ==
 
== Примечания ==
 
<references/>
 
<references/>
  
== Источники ==
+
== Источники информации==
 
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
 
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
 
* Дональд Кнут. «Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск» {{---}} «Вильямс», 2007 г. {{---}} 824 стр. {{---}} ISBN 0-201-89685-0
 
* Дональд Кнут. «Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск» {{---}} «Вильямс», 2007 г. {{---}} 824 стр. {{---}} ISBN 0-201-89685-0
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Хеш-таблица Хеш-таблица {{---}} Википедия]
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Хеш-таблица Википедия {{---}} Хеш-таблица]
  
 
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория:Хеширование]]
 
[[Категория:Хеширование]]
 +
[[Категория:Структуры данных]]

Текущая версия на 12:28, 24 сентября 2021

Определение:
Хеш-табли́ца (англ. hash-table) — структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива. В отличие от деревьев поиска, реализующих тот же интерфейс, обеспечивают меньшее время отклика в среднем. Представляет собой эффективную структуру данных для реализации словарей, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления пары по ключу.


Введение[править]

Существует два основных вида хеш-таблиц: с цепочками и открытой адресацией. Хеш-таблица содержит некоторый массив [math]H[/math], элементы которого есть пары (хеш-таблица с открытой адресацией) или списки пар (хеш-таблица с цепочками).

Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа. Хеш-код [math]i = h(key)[/math] играет роль индекса в массиве [math]H[/math], а зная индекс, мы можем выполнить требующуюся операцию (добавление, удаление или поиск).

Количество коллизий зависит от хеш-функции; чем лучше используемая хеш-функция, тем меньше вероятность их возникновения.

Лемма:
Вероятность коллизий при вставке в хеш-таблицу превышает 50%
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть хеш-таблица имеет размер [math]len[/math] и в нее добавляют [math]n[/math] элементов. Рассмотрим [math]{p}'(n)[/math] — вероятность того, что не возникнет ни одной коллизии. Добавим два любых элемента в нашу хеш-таблицу. Вероятность того, что они не попадут в одну и ту же ячейку таблицы равна [math]1 - \dfrac{1}{len}[/math]. Возьмем еще один элемент. Тогда вероятность того, что третий элемент не попадет в одну из уже занятых ячеек равна [math]1 - \dfrac{2}{len}[/math]. Рассуждая аналогичным образом, получим формулу: [math]{p}'(n) = \left( 1 - \dfrac{1}{len}\right )\cdot \left( 1 - \dfrac{2}{len}\right )\dots\left( 1 - \dfrac{n - 1}{len}\right ) = \dfrac{len \cdot \left(len - 1 \right )\dots\left (len - n + 1 \right )}{len^{n}} = \dfrac{len!}{len^{n} \cdot \left (len - n \right)!}[/math]

Тогда [math]{p}(n)[/math] — вероятность возникновения коллизии равна: [math]p(n) = 1 - {p}'(n)[/math],

что в общем случае [math] \gt \dfrac{1}{2}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Способ разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.

Полностью избежать коллизий для произвольных данных невозможно в принципе, и хорошая хеш-функция в состоянии только минимизировать их количество. Но, в некоторых специальных случаях их удаётся избежать. Если все ключи элементов известны заранее, либо меняются очень редко, то можно подобрать хеш-функцию, с помощью которой, все ключи будут распределены по хеш-таблице без коллизий. Это хеш-таблицы с прямой адресацией; в них все операции, такие как: поиск, вставка и удаление работают за [math]O(1)[/math].

Если мы поделим число хранимых элементов на размер массива [math]H[/math] (число возможных значений хеш-функции), то узнаем коэффициент заполнения хеш-таблицы (англ. load factor). От этого параметра зависит среднее время выполнения операций.

Хеширование[править]

Хеширование (англ. hashing) — класс методов поиска, идея которого состоит в вычислении хеш-кода, однозначно определяемого элементом с помощью хеш-функции, и использовании его, как основы для поиска (индексирование в памяти по хеш-коду выполняется за [math]O(1)[/math]). В общем случае, однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов исходных данных, поэтому существуют элементы, имеющие одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии, но если два элемента имеют разный хеш-код, то они гарантированно различаются. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций. Для того чтобы коллизии не замедляли работу с таблицей существуют методы для борьбы с ними.


Определение:
[math]U [/math] — множество объектов (универсум).
[math]h : U \rightarrow S = \mathcal {f} 0 \dots m - 1 \mathcal {g}[/math] — называется хеш-функцией, где множество [math]S[/math] хранит ключи из множества [math]U[/math].
Если [math]x \in U[/math] значит [math]h(x) \in S[/math]
Коллизия (англ. collision): [math]\exists x \neq y : h(x) = h(y)[/math]

Виды хеширования[править]

  • По способу хранения:

Статическое — фиксированное количество элементов. Один раз заполняем хеш-таблицу и осуществляем только проверку на наличие в ней нужных элементов,

Динамическое — добавляем, удаляем и смотрим на наличие нужных элементов.

  • По виду хеш-функции:

Детерминированная хеш-функция,

Случайная хеш-функция.

Свойства хеш-таблицы[править]

На поиск элемента в хеш-таблице в худшем случае, может потребоваться столько же времени, как и в списке, а именно [math]\Theta(n)[/math], но на практике хеширование более эффективно. При некоторых разумных допущениях математическое ожидание времени поиска элемента в хеш-таблице составляет [math]O(1)[/math]. А все операции (поиск, вставка и удаление элементов) в среднем выполняются за время [math]O(1)[/math]. При этом не гарантируется, что время выполнения отдельной операции мало́, так как при достижении некоторого значения коэффициента заполнения необходимо перехешировать таблицу: увеличить размер массива [math]H[/math] и заново добавить в новую хеш-таблицу все пары.

Хеширование в современных языках программирования[править]

Почти во всех современных языках присутствуют классы, реализующие хеширование. Рассмотрим некоторые из них.

  • Java
    • HashMap [1] — реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,
    • HashSet [2] — реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы,
    • LinkedHashMap [3] — потомок класса HashMap. Позволяет просматривать значения в том порядке, в котором они были добавлены.
  • C++
    • unordered_map [4] — реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,
    • unordered_set [5] — реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы.
  • Python (CPython)
    • dict [6] — реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,
    • set [7] — реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы.

Примечания[править]

Источники информации[править]

  • Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» — «Вильямс», 2011 г. — 1296 стр. — ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
  • Дональд Кнут. «Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск» — «Вильямс», 2007 г. — 824 стр. — ISBN 0-201-89685-0
  • Википедия — Хеш-таблица