2
правки
Изменения
м
{{Лемма
|statement=Вероятность коллизий при вставке в хеш-таблицу превышает 50%
|proof=
Пусть хеш-таблица имеет размер <tex>len</tex> и в нее добавляют <tex>n</tex> элементов. Рассмотрим <tex>{p}'(n)</tex> - вероятность того, что не возникнет ни одной коллизии. Добавим два любых элемента в нашу хеш-таблицу. Вероятность того, что они не попадут в одну и ту же ячейку таблицы равна <tex>1 - \frac{1}{len}</tex>. Возьмем еще один элемент. Тогда вероятность того, что третий элемент не попадет в одну из уже занятых ячеек равна <tex>1 - \frac{2}{len}</tex>. Рассуждая аналогичным образом, получим формулу:
<tex>{p}'(n) = \left( 1 - \frac{1}{len}\right )\cdot \left( 1 - \frac{2}{len}\right )\dots\left( 1 - \frac{n - 1}{len}\right ) = \frac{len \cdot \left(len - 1 \right )\dots\left (len - n + 1 \right )}{len^{n}} = \frac{len!}{len^{n} \cdot \left (len - n \right)!}</tex>
Тогда <tex>{p}(n)</tex> - вероятность возникновения коллизии равна:
<tex>p(n) = 1 - {p}'(n)</tex>,
что в общем случае <tex> > \frac{1}{2}</tex>
}}
→Хеширование в современных языках программирования
{{Определение|definition='''Хеш-табли́ца''' (англ. ''hash-table'') {{---}} структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива. В отличие от [[Дерево_поиска,_наивная_реализация|деревьев поиска]], реализующих тот же интерфейс, обеспечивают меньшее время отклика в среднем. Представляет собой эффективную структуру данных для реализации словарей, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления пары по ключу.}}
=== Введение ===
Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа. Хеш-код <tex>i = h(key)</tex> играет роль индекса в массиве <tex>H</tex>, а зная индекс, мы можем выполнить требующуюся операцию (добавление, удаление или поиск).
Количество коллизий зависит от хеш-функции; чем лучше используемая хеш-функция, тем меньше вероятность их возникновения. При {{Лемма|statement=Вероятность коллизий при вставке в хеш-таблицу вероятность коллизии в общем случае превышает 50%|proof= Пусть хеш-таблица имеет размер <tex>len<ref/tex>и в нее добавляют <tex>n</tex> элементов. Рассмотрим <tex>{p}'(n) = </tex> — вероятность того, что не возникнет ни одной коллизии. Добавим два любых элемента в нашу хеш-таблицу. Вероятность того, что они не попадут в одну и ту же ячейку таблицы равна <tex>1 - \dfrac{1}{len}</tex>. Возьмем еще один элемент. Тогда вероятность того, что третий элемент не попадет в одну из уже занятых ячеек равна <tex>1 - \cdot dfrac{2}{len}</tex>. Рассуждая аналогичным образом, получим формулу:<tex>{p}'(n) = \left(1-\fracdfrac{1}{len}\right) \cdot \left(1-\fracdfrac{2}{len}\right) \cdots dots\left(1-\fracdfrac{n-1}{len}\right) = \dfrac{ len \cdot \left(len-1 \cdots right )\dots\left (len-n+1\right ) \over }{len^{n } </tex> <tex> } = \dfrac{ len! \over }{len^{n } \cdot \left (len-n\right)!},</tex><br>где Тогда <tex>{p}(n)</tex> — вероятность возникновения коллизии равна:<tex>p(n) = 1 - {{---p}} количество элементов в хеш-таблице, а '(n)</tex>len,что в общем случае </tex> > \dfrac{1}{---2}} её размер.</reftex> (при равномерном распределении значений хеш-функции)<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_дней_рождения Парадокс дней рождения {{---}} Википедия]</ref>. Способ разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.
Полностью избежать коллизий для произвольных данных невозможно в принципе, и хорошая хеш-функция в состоянии только минимизировать их количество. Но, в некоторых специальных случаях их удаётся избежать. Если все ключи элементов известны заранее, либо меняются очень редко, то можно подобрать хеш-функцию, с помощью которой, все ключи будут распределены по хеш-таблице без коллизий. Это хеш-таблицы с ''прямой адресацией''; в них все операции, такие как: поиск, вставка и удаление работают за <tex>O(1)</tex>.
=== Хеширование ===
'''Хеширование''' (англ. ''hashing'') {{---}} класс методов поиска, идея которого состоит в вычислении хеш-кода, однозначно определяемого элементом с помощью хеш-функции, и использовании его, как основы для поиска (индексирование в памяти по хеш-коду выполняется за <tex>O(1)</tex>). В общем случае, однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов исходных данных, поэтому существуют элементы, имеющие одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии, но если два элемента имеют разный хеш-код, то они гарантированно
различаются. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций. Для того чтобы коллизии не замедляли работу с таблицой таблицей существуют [[Разрешение коллизий|методы для борьбы с ними]].
{{Определение
На поиск элемента в хеш-таблице в худшем случае, может потребоваться столько же времени, как и в списке, а именно <tex>\Theta(n)</tex>, но на практике хеширование более эффективно. При некоторых разумных допущениях [[Математическое_ожидание_случайной_величины|математическое ожидание]] времени поиска элемента в хеш-таблице составляет <tex>O(1)</tex>. А все операции (поиск, вставка и удаление элементов) в среднем выполняются за время <tex>O(1)</tex>.
При этом не гарантируется, что время выполнения отдельной операции мало́, так как при достижении некоторого значения коэффициента заполнения необходимо [[Перехеширование. Амортизационный анализ|перехешировать]] таблицу: увеличить размер массива <tex>H</tex> и заново добавить в новую хеш-таблицу все пары.
===Хеширование в современных языках программирования===
Почти во всех современных языках присутствуют классы, реализующие хеширование. Рассмотрим некоторые из них.
*Java
**HashMap <ref>[http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/HashMap.html HashMap {{---}} Java Platform SE 7]</ref> {{---}} реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,**HashSet <ref>[http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/HashSet.html HashSet {{---}} Java Platform SE 7]</ref> {{---}} реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы,**LinkedHashMap <ref>[http://docs.oracle.com/javase/7/docs/api/java/util/LinkedHashMap.html LinkedHashMap {{---}} Java Platform SE 7]</ref> {{---}} потомок класса HashMap. Позволяет просматривать значения в том порядке, в котором они были добавлены.
*C++
**unordered_map <ref>[http://www.cplusplus.com/reference/unordered_map/unordered_map/ unordered_map {{---}} cplusplus.com]</ref> {{---}} реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,**hash_set unordered_set <ref>[http://www.cplusplus.com/reference/unordered_map/unordered_set/ unordered_set {{---}} cplusplus.com]</ref> {{---}} реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы.*Python (CPython)**dict <ref>[https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/dictobject.c#L1 dictobject.c {{---}} https://github.com/python/cpython]</ref> {{---}} реализация интерфейса ассоциативного массива с использованием хеш-таблицы,**set <ref>[https://hg.python.org/releasing/3.6/file/tip/Objects/setobject.c setobject.c {{---}} https://hg.python.org ] </ref> {{---}} реализация интерфейса множества с использованием хеш-таблицы.
== Примечания ==
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
* Дональд Кнут. «Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск» {{---}} «Вильямс», 2007 г. {{---}} 824 стр. {{---}} ISBN 0-201-89685-0
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Хеш-таблица Хеш-таблица Википедия {{---}} ВикипедияХеш-таблица]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Хеширование]]
[[Категория:Структуры данных]]
