Изменения

[[Файл:shcemebinsearch.png|350px320px|thumb|right|Схема бинарного поиска]] == Формулировка задачи ==Пусть нам дан упорядоченный массив, состоящий только из целочисленных элементов. Требуется найти позицию, на которой находится заданный элемент. Для этой задачи мы и можем использовать двоичный поиск.

Для простоты дальнейших определений будем считать, что <tex>a[0-1] = -\infty</tex> и что <tex>a[n] = +\infty</tex>(массив нумеруется с <tex>0</tex>).

<b><i>Например===Пример:</i></b>===

Правосторонний поиск двойки выдаст в результате <tex>54</tex>, в то время как левосторонний выдаст <tex>21</tex> (нумерация с единицынуля).

От сюда Отсюда следует, что количество подряд идущих двоек равно длине отрезка <tex>[21;54]</tex>, то есть <tex>4</tex>.

то сужаем область поиска так, чтобы новая левая граница была равна индексу середины предыдущей области. В противном случае присваиваем это значение правой границе. Проделываем эту процедуру до тех пор, пока правая граница больше левой более чем на <tex>1</tex>. В случае правостороннего бинарного поиска ответом будет индекс <tex>l</tex>, а в случае левостороннего {{---}} <tex>r</tex>.

'''int''' binSearch('''int[]''' a, '''int''' key) : <font color="green">// l, r - левая и правая границыЗапускаем бинарный поиск</font> '''int''' l = 0-1 <font color="green">// l, r {{---}} левая и правая границы</font> '''int''' r = len(a) + 1 '''while''' l < r - 1 <font color="green">// запускаем Запускаем цикл</font>

r = m <font color="green">// сужение Сужение границ</font>

== Применение двоичного поиска на некоторых неотсортированных массивах ====='''Применение поиска на циклически сдвинутом отсортированном массиве'''===

{{Задача|definition = Пусть отсортированный по возрастанию массив из <tex>n</tex> элементов <tex>a[0..\ldots n- 1]</tex>, все элементы которого различны, был циклически сдвинут, требуется максимально быстро найти элемент в таком массиве.}} Если массив, отсортированный по возрастанию, был циклически сдвинут, тогда полученный массив состоит из двух отсортированных частей. Используем двоичный поиск, чтобы найти индекс последнего элемента левой части массива. Для этого в реализации двоичного поиска заменим условие в <texcode>'''if'''</texcode> на <tex>a[m] > a[n-1]</tex>, тогда в <tex>l</tex> будет содержаться искомый индекс:

'''int''' l = 0-1 '''int''' r = n + 1 len(a) '''while''' l < r - 1 <font color="green">// Запускаем цикл...С помощью бинарного поиска найдем максимум на массиве</font> m = (l + r) / 2 <font color="green">// m {{---}} середина области поиска.</font> '''if''' a[m] > a[n- 1] <font color="green">// Сужение границ..</font>

Затем воспользуемся двоичным поиском искомого элемента <tex>key</tex>, запустив его на той части массива, в которой он находится: на <tex>[0, x]</tex> или на <tex>[x + 1, n- 1]</tex>. Для определения нужной части массива сравним <tex>key</tex> с первым и с последним элементами массива:

'''if''' key > a[0] <font color="green">// Если key в левой части...</font> l = 0-1

'''if''' key < a[n] <font color="green">// Если key в правой части...</font> l = x + 1 r = n + 1

Найдем индекс последнего элемента {{Задача|definition = Массив образован путем приписывания в конец массива, отсортированного по возрастанию, воспользовавшись двоичным поискоммассива, условие в <tex>if</tex> в котором изменено на <tex>a[m] > a[m - 1]</tex>отсортированного по убыванию. Тогда Требуется максимально быстро найти элемент в <tex>l</tex> будет содержаться искомый индекс:<code> '''int''' l = 0 '''int''' r = n + 1 '''while''' l < r - 1 <font color="green">// Запускаем цикл..таком массиве.</font> m = (l + r) / 2 <font color="green">// m {{---}} середина области поиска.</font> '''if''' aНайдем индекс последнего элемента массива, отсортированного по возрастанию, воспользовавшись [[mТроичный_поиск|троичным поиском] > a[m - 1] <font color="green">// Сужение границ...</font> l = m '''else''' r = m '''int''' x = l <font color="green">// x {{---}} искомый индекс.</font></code>Затем , затем запустим левосторонний двоичный поиск для каждого массива отдельно: для элементов <tex>[0..\ldots x]</tex> и для элементов <tex>[x+1..\ldots n]</tex>, где в качестве <tex>x</tex> мы возьмем индекс максимума, найденный троичным поиском. Для массива, отсортированного по убыванию используем двоичный поиск, измененнив изменив условие в <texcode>'''if'''</texcode> на <tex>a[m] > key</tex>. Время выполнения алгоритма {{---}} <tex> O(\log n)</tex> (так как и бинарный поиск, и тернарный поиск работают за логарифмическое время с точностью до константы).

==='''Применение поиска на Мы имеем массив, образованный из двух отсортированных по возрастанию массивахподмассивов, записанных один в конец другого'''===. Запустить сразу бинарный или тернарный поиски на таком массиве нельзя, так как массив не будет обязательно отсортированным и он не будет иметь <tex>1</tex> точку экстремума. Поэтому попробуем найти индекс последнего элемента левого массива, чтобы потом запустить бинарный поиск два раза на отсортированных массивах.

Мы имеем массивДокажем, образованный из двух отсортированных массивов, записанных один в конец другого. Рассмотрим разные примеры таких массивов (вертикальная черта означает границу между двумя маленькими массивами, образующими большой, никакой смысловой нагрузки она не несетчто найти этот индекс невозможно быстрее, она нужна лишь для облегчения понимания):# чем за <tex> \{ 1, 3, 5 \mid 2, 4, 6 \}Omega (n)</tex> или . Возьмем возрастающий массив целых чисел, начиная с <tex> \{ 2, 4, 6 \mid 1, 3, 5 \}</tex> {{---}} самые частые варианты.# Он удовлетворяет условию задачи. Вставим в него <tex> \{ 100 \mid 1 \}0</tex> {{на любую позицию. Такой массив по---}} оба массива имеют длину <tex>1</tex>прежнему будет удовлетворять условию задачи.# <tex> \{ 1Следовательно,2,3 \mid 4,5,6 \}</tex> {{из---}} все элементы из второго массива больше последнего (максимального) элемента из первого массива. Стоит заметитьза того, что массив в этом примере не отличим от массивов: <tex>\{ 1 \mid 2,3,4,5,6 \}0</tex>может находиться на любой позиции, мы можем его найти лишь за <tex>\{ 1,2 \mid 3,4,5,6 \}Omega (n)</tex> и тому подобных.

Значит{{Задача|definition = Массив образован путем циклического сдвига массива, нам следует разработать алгоритм, который будет искать образованного приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированного по возрастанию. Требуется максимально быстро конец левого массива. Утверждается, что найти элемент в худшем случае такому алгоритму придется сделать <tex>O(n)</tex> сравненийтаком массиве. Такой алгоритм на массиве <tex> \{ 1,2,3 \mid 4,5,6 \}</tex> должен будет убедиться, что элементы возрастают, но для этого ему придется сравнить все соседние элементы, потому что массив может быть таким: <tex> \{ 1,2,3, 4 \mid \textbf{0} ,6 \}</tex>. При этом все элементы, кроме пятого не меняются, значит, по другим элементам невозможно меньше, чем за <tex>O(n)</tex> определить, возрастает ли массив на всей своей длине или нет.

Для тогоПосле циклического сдвига мы получим массив <tex>a[0 \ldots n-1]</tex>, чтобы за образованный из трех частей: отсортированных по возрастанию-убыванию-возрастанию (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>O) или по убыванию-возрастанию-убыванию (n<tex> \searrow \nearrow \searrow </tex>). С помощью двоичного поиска найдем индексы максимального и минимального элементов массива, заменив условие в <code>'''if'''</code> на <tex>a[m] > a[m - 1]</tex> (ответ будет записан в <tex>l</tex>)или на <tex>a[m] > a[m + 1]</tex> найти элемент (ответ будет записан в массиве пройти по всем элементам массива и сравнить их с искомым<tex>r</tex>) соответственно.

==='''Применение поиска на циклически сдвинутом массивеРассмотрим отдельно ситуацию, если наш массив вида возрастание-убывание-возрастание (<tex>\nearrow \searrow \nearrow </tex>). В таком случае может быть неправильно найдено значение максимума, образованном приписыванием отсортированного если последний промежуток возрастания занимает больше половины массива (мы будем подниматься по убыванию последнему промежутку возрастания вплоть до конца массива и за максимум будет принят последний элемент массива, что не всегда верно). Тогда, если последний элемент массива меньше первого, нужно еще раз запустить поиск максимума, но уже на промежутке от <tex>0</tex> до <tex>min</tex>, потому что истинный максимум будет находиться в конец отсортированного по возрастанию'''===первой точке экстремума, которую мы таким образом и найдем.

После циклического сдвига мы получим массив <tex>a[0..n]</tex>, образованный из трех частей: отсортированных по возрастанию-убыванию-возрастанию или по убываниюВ случае же убывание-возрастаниювозрастание-убыванию. Поэтому с помощью двоичного поиска мы ищем индексы максимального и минимального элементов массива, заменив условие в <tex>if</tex> на <tex>a[m] > a[m - 1]</tex> убывание (ответ будет записан в <tex>l\searrow \nearrow \searrow </tex>) или на <tex>a[m] > a[m + 1]</tex> (ответ может быть, что будет записан неправильно найден минимум. Найдем правильный минимум аналогично поиску максимума в <tex>r</tex>) соответственно:<code> <font color="green">// Поиск максимума..предыдущем абзаце.</font> '''int''' l = 0 '''int''' r = n + 1 '''while''' l < r - 1 <font color="green">// Запускаем циклЗатем, в зависимости от типа нашего массива, запустим бинарный поиск три раза на каждом промежутке...</font> m = (l + r) / 2 <font color="green">// m {{---}} середина области поиска.</font> '''if''' a[m] > a[m - 1] <font color="green">// Сужение границ..</font> l = m '''else''' r = m '''int''' max = l

<font color="green">// Поиск минимума...</font> '''int''' l = 0 '''int''' r = n + 1 '''while''' l < r - 1 <font color="green">// Запускаем цикл...</font> m = (l + r) / 2 <font color="green">// m Время выполнения данного алгоритма {{---}} середина области поиска.</fonttex> '''if''' a[m] > a[m + 1] <font color="green">// Сужение границ..</font> l = m '''else''' r = m '''int''' min O(6\log n)= r</code>Затем, в зависимости от расположения частей O(можно узнать, сравнив <tex>min\log n)</tex> и <tex>max</tex>), запустим двоичный поиск для каждой части отдельно аналогично задаче о поиске элемента на массиве, отсортированном по возрастанию, в конец которого приписан массив, отсортированный по убыванию.

Время выполнения данного алгоритма {{---}} == Переполнение индекса середины ==В некоторых языках программирования присвоение <code>m = (l + r) / 2</code> приводит к переполнению. Вместо этого рекомендуется использовать <texcode>Om = l + (5\log nr - l)/ 2;</texcode>или эквивалентные выражения.<ref>https://ai.googleblog.com/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html</ref>

* Д. Кнут {{- --}} Искусство программирования (Том 3, 2-е издание)* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA Википедия {{--- }} двоичный поиск]* [http://habrahabr.ru/post/146228/| Интересная статья про типичные Типичные ошибкипри написании бинарного поиска]* [http://algolist.manual.ru/search/advbin.php| Бинарный поиск на algolist] == Примечания ==<references/>