Изменения

: <mathtex><\langle a_0; , a_1, a_2, a_3,\cdots> \rangle = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;</mathtex><br />где ''a''<subtex>0a_0</subtex> есть целое число и все остальные''a''<subtex>''n''a_n</subtex> натуральные числа.Различают '''конечные и бесконечные ''' цепные дроби. Любая конечная дробь <mathtex><\langle a_0; , a_1, a_2, a_3,\cdotsldots, a_n>\rangle</mathtex> представима в виде некоторой рациональной дроби <mathtex>\frac{P_n}{Q_n}</mathtex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.}} == Цепные дроби для рациональных чисел =={{Main|Связь цепных дробей и алгоритма Евклида}}Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность <tex>a_i</tex> {{---}} это ровно та последовательность частных, которая получается при применении [[алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]] к числителю и знаменателю дроби. == Цепные дроби как приближение к числу =={{Main|Цепные дроби как приближение к числу|Сходимость цепных дробей}}Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях <tex>a_i</tex>, удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как <tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i^2}</tex>. == Периодичность цепных дробей =={{Main|Периодичность цепных дробей}}Цепная дробь [[квадратичная иррациональность|квадратичной иррациональности]] {{---}} периодична, а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности {{---}} чисто периодична. == Примеры разложения чисел в цепные дроби ==* <tex> \frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\langle 1, 2, 2 \rangle</tex>* <tex> \sqrt{2} = 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\langle 1, 2, 2, \cdots \rangle</tex> == Свойства цепных дробей =={{Main|Свойства цепных дробей}}Цепную дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle</tex> можно записать в виде частного двух полиномов<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]}</tex>, где <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]</tex> {{---}} некоторый полином от <tex>n+1</tex> переменной. Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:* <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономов.* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_{n-2}]</tex>.* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:* <tex>P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}</tex>* <tex>Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}</tex>* <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex> [[Категория: Теория чисел]]