Изменения

Различают '''конечные и бесконечные ''' цепные дроби. Любая конечная дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\frac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.

== Цепные дроби для рациональных чисел =={{Main|Связь цепных дробей и алгоритма Евклида}}Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность <tex>a_i</tex> {{---}} это ровно та последовательность частных, которая получается при применении [[алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]] к числителю и знаменателю дроби. == Цепные дроби как приближение к числу =={{Main|Цепные дроби как приближение к числу|Сходимость цепных дробей}}Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях <tex>a_i</tex>, удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как <tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i^2}</tex>. == Периодичность цепных дробей =={{Main|Периодичность цепных дробей}}Цепная дробь [[квадратичная иррациональность|квадратичной иррациональности]] {{---}} периодична, а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности {{---}} чисто периодична. == Примеры разложения чисел в цепные дроби ==* <tex> \frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\langle 1, 2, 2 \rangle</tex>* <tex> \sqrt{2} = 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\langle 1, 2, 2, \cdots \rangle</tex> == Свойства цепных дробей =={{Main|Свойства цепных дробей}}Цепную дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle</tex> представима можно записать в виде частного двух полиномов<tex> \frecfrac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} </tex>.Отсюда видим, что где <tex> \frec{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]</tex> {{---}}некоторый полином от <tex>n+1</tex> переменной. Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:* <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономов.* <tex>[a_0, a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} = a_0 + \frec{[a_1, a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]}{+ [a_1, a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]} </tex>.* <tex> [a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1, a_2\cdots, a_{n-2}]</tex>.* <tex>[a_0, a_3a_1,\cdots, a_n] + = [a_2a_n, a_3, a_4a_{n-1},\cdots, a_0] </tex>Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:* <tex>P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}</tex>* <tex>Q_n = Q_{n-1}a_n]+ Q_{n-2}</tex>* <tex>P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n=(-1)^{n+1}</tex>.