== Определение ==
{{Определение
|definition=
}}
== Цепные дроби для рациональных чисел =={{Main|Связь цепных дробей и алгоритма Евклида}}Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность <tex>a_i</tex> {{---}} это ровно та последовательность частных, которая получается при применении [[алгоритм Евклида|алгоритма Евклида]] к числителю и знаменателю дроби. == Цепные дроби как приближение к числу ==={{Main|Цепные дроби как приближение к числу|Сходимость цепных дробей}}
Подходящие дроби можно рассматривать как последовательные приближения к некоторому вещественному числу. При любых значениях <tex>a_i</tex>, удовлетворяющих требованиям определения цепной дроби, последовательность подходящих дробей имеет предел. Кроме того, скорость сходимости можно оценить как <tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.
== Периодичность цепных дробей =={{Main|Периодичность цепных дробей}}Цепная дробь [[квадратичная иррациональность|квадратичной иррациональности]] {{---}} периодична, а цепная дробь приведенной квадратичной иррациональности {{---}} чисто периодична. == Примеры разложения чисел в цепные дроби ===
* <tex> \frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\langle 1, 2, 2 \rangle</tex>
* <tex> \sqrt{2} = 1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\langle 1, 2, 2, \cdots \rangle</tex>
Числитель и знаменатель цепной дроби можно записать в виде полиномов от переменных <tex>a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n</tex>. При этом, поскольку числитель каждой дроби является знаменателем следующей, полиномы для числителей и знаменателей имеют одинаковый вид.== Свойства цепных дробей =={{Main|Свойства цепных дробей}}Таким образом, цепная Цепную дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle </tex> представима можно записать в виде частного двух полиномов<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]}</tex>, где <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]</tex> {{---}} некоторый полином от<tex>n+1</tex> переменной.
=== Свойства цепных дробей ===Эти полиномы удовлетворяют следующим свойствам:
* <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_{n+1}</tex> мономов.
* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.
* <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_{n-2}]</tex>.
* Для числителей и знаменателей <tex>n</tex>-ой подходящей дроби верны следующие формулы:
** <tex>P_n = P_{n-1}a_n + P_{n-2}</tex>
** <tex>Q_n = Q_{n-1}a_n + Q_{n-2}</tex>
* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] = [a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>
=== Доказательства свойств ==={{Лемма|id=lemma1|about=1|statement=Для числителей и знаменателей <tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]n</tex>.|proof=<tex> \frac{[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} = a_0 + \frac{[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]}{[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n]} </tex>.-ой подходящей дроби верны следующие формулы:Следовательно * <tex> [a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] P_n = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]</tex>.}}{{Лемма|id=lemma2|about=2|statement=<tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> {{---}} полином от <tex>n+1</tex> переменной, состоящий из <tex>F_P_{n+1}</tex> мономов.|proof='''База'''. При <tex>n=0</tex>: <tex>[a_0] = a_0</tex> {{---}} полином от одной переменной с одним мономом. <tex>[a_0, a_1] = a_0 a_1 + 1</tex> {{---}} два монома.'''Переход'''. Пусть верно, что в <tex>[a_0,\cdots, a_n]</tex> <tex>F_{n+1}</tex> монома. Докажем, что в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_P_{n+2}</tex> монома.<tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}] = a_0[a_1,\cdots, a_{n+1}] + [a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> В <tex>[a_2,\cdots, a_{n+1}]</tex> нет мономов, содержащих <tex> a_0 </tex>. Значит в <tex>[a_0,\cdots, a_{n+1}]</tex> <tex>F_{n+1}+F_n = F_{n+-2}</tex> слагаемых.}}{{Теорема|id=theorem1 |about=1|statement=* <tex>[a_0, a_1, \cdots, a_n] Q_n = [a_n, a_Q_{n-1}, \cdots, a_0] </tex>|proof=База: <tex>[a_0] = a_0 = [a_0]</tex>Пусть верно для всех <tex>m < n </tex>. Докажем для <tex>n</tex>. <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = a_0[a_1, a_2, a_3,\cdots, a_n] + [a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n] = a_0(a_1[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]+[a_3, a_4, a_5\cdots, a_n])+[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n]=(a_0a_1+1)[a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n] + a_0[a_3, a_4, a_5\cdots, a_n] = [a_0, a_1][a_2, a_3, a_4,\cdots, a_n] + [a_0][a_3, a_4, a_5\cdots, a_n]</tex> Обобщим последнюю формулу и докажем по индукции. Пусть верно : <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_k][a_Q_{k+1},\cdots, a_n]+[a_0,\cdots, a_{kn-1}][a_{k+2}, \cdots, a_n]</tex>. Докажем для больших <tex> k </tex> : * <tex> [a_0, \cdots, a_k][a_{k+1},\cdots, a_n]+[a_0,\cdots, a_{k-1}][a_{k+2}, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_k](a_{k+1}[a_{k+2}, \cdots, a_n]+[a_P_nQ_{k+3}, \cdots, a_n])+[a_0,\cdots, a_{k-1}][a_{k+2}, \cdots, a_n] = (a_{k+1}[a_0, \cdots, a_k] + [a_0,\cdots, a_{k-1}])[a_{k+2}, \cdots, a_n]+[a_0, \cdots, a_k][a_{k+3}, \cdots, a_n]</tex>. Используя условие теоремы для <tex>k < n-1</tex> получаем : <tex> a_{k+1}[a_0, \cdots, a_k] + [a_0,\cdots, a_{k-1}] = a_{k+1}[a_k, \cdots, a_0] + [a_{k-1}, \cdots, a_0] = [a_{k+1},\cdots, a_0] = [a_0, \cdots, a_{k+1}]</tex> Следовательно получаем : <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_{n-2}][a_P_{n-1}, a_n]+[a_0,\cdots, a_{n-3}][a_n] Q_n= [a_{n-2}, \cdots, a_0](a_{n-1}a_n + 1) + a_n[a_{n-3}, \cdots, a_0]=a_n[a_^{n-1},\cdots, a_0] + [a_{n-2}, \cdots, a_0] = [a_n, \cdots, a_0]</tex>.}}{{Лемма|id=lemma3|about=3|statement=<tex>[a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n] = [a_0, a_1,\cdots, a_{n - 1}]a_n + [a_0, a_1,\cdots, a_{n-2}, a_{n-1}]</tex>.|proof=Эта формула аналогична формуле из [[#lemma1|Леммы 1]], за исключением того, что <tex>a_n</tex> "отщепляются" с другого конца.Для получения формулы достаточно скомбинировать результаты [[#lemma1|Леммы 1]] и [[#theorem1|Теоремы 1]].}}
[[Категория: Теория чисел]]
