* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
{{Теорема
|author=Лагранж
|statement=
ЧислоПериод цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из симметричной части <tex>a_1,\alphacdots, a_n</tex> представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда <tex>\alpha2a_0</tex> квадратичная иррациональность.
|proof=
Рассмотрим <tex>\Rightarrowalpha</tex> - приведённая и <tex>\beta=-\frac{1}{\overline{\alpha}}</tex>. Так как <tex>\beta_{n+1}=a_n+\frac{1}{\beta_n}</tex>, то <tex>\beta=<a_n,\cdots, a_0,\cdots</tex>.
Рассмотрим <tex>\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overlinesqrt{a_k,\cdots a_nd}+[\rangle</tex>, тогда введём <tex>\alpha_k=\langle \overlinesqrt{a_k,\cdots, a_nd}\rangle]</tex>- приведённая. Тогда Рассмотрим <tex>\alpha_kalpha_1=\langle a_k,\cdots, a_n, \overlinefrac{\alpha_k1} {\rangle</tex>. <tex>alpha-[\alpha_kalpha]}=\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_sqrt{nd}-1}'}[\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_sqrt{n-1d}')\alpha_k+P_{n-1]}'=0\beta</tex> Поэтому . Отсюда <tex>\alpha_k</tex> квадратичная иррациональностьlangle a_1, a_2,\cdots, так как иррационально и удовлетворяет уравнению с целыми коэффициентами. Аналогично получимa_n, что <tex>\alpha cdots\rangle= \fraclangle a_n, a_{P_k\alpha_k+P_{kn-1}}{Q_k,\cdots\alpha_k+Q_{k-1}}rangle</tex>. Поэтому и <tex>\alpha</tex> квадратичная иррациональностьИз единственности представления в цепную дробь следует утверждение теоремы.}}[[Категория:Теория чисел]]
<tex>\Leftarrow</tex>. Пусть <tex>a\alpha^2+b\alpha+c=0</tex>. Разложим <tex>\alpha</tex> в цепную дробь и для <tex>\forall k[[Категория:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}}</tex>. Подставим в уравнение и заменим коэффициенты <tex>A_k\alpha_k^2+B_k\alpha_k+C_k=0</tex>. Где <tex>A_k=aP_k^2+bP_kQ_k+cQ_k^2</tex>, <tex>B_k=2aP_kP_{k-1}+bP_{k-1}Q_k+bP_kQ_{k-1}+2cQ_kQ_{k-1}</tex> и <tex>C_k=aP_{k-1}^2+bP_{k-1}Q_{k-1}+cQ_{k-1}^2</tex>. Вычислим и упростим дискриминант и получим: <tex>B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac</tex>. Ограничим <tex>A_k,B_k,C_k</tex>. По тому, что <tex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|<\frac{1}{Q_k^2}</tex> имеем <tex>\frac{P_k}{Q_k}=\alpha-\frac{\epsilon}{Q_k^2},\epsilon\in(-1;1)</tex>.Отсюда <tex>\frac{A_k}{Q_k^2}=a(\frac{P_k}{Q_k})^2+b(\frac{P_k}{Q_k})+c=a\alpha^2+b\alpha+c-2a\alpha\frac{\epsilon}{Q_k^2}+a\frac{\epsilon^2}{Q_k^4}-b\frac{\epsilon}{Q_k^2}</tex>. Отсюда <tex>A_k=-2a\alpha\epsilon+a\epsilon-b\epsilon\Rightarrow~|A_k|\leqslant~|2a\alpha|+~|a|+~|b|</tex>. Далее <tex>C_k = A_{k-1}</tex>, значит тоже ограничено. Теперь <tex>B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac\Rightarrow B_k^2\leqslant 4~|A_kC_k|+~|b^2-4ac|<4(2~|a\alpha|+~|a|+|b|)^2+~|b^2-4ac|</tex>. То есть коэффициенты ограничены, но <tex>k</tex> принимает бесконечное число значений, значит <tex>\exists i,j:\alpha_i=\alpha_j; i>j</tex> значит цепная дробь периодична.}}В разработке]]
