* <tex>\sqrt{D}</tex> представимо в виде цепной дроби из <tex>a_0</tex> и периода.
* <tex>\sqrt{D}=[\sqrt{D}]+\sqrt{D}-a_0</tex> значит <tex>\sqrt{D}=\langle a_0, \overline{a_1,\cdots, a_n, 2a_0} \rangle</tex>.
{{Теорема
|author=Лагранж
|statement=
ЧислоПериод цепной дроби <tex>\sqrt{d}</tex> состоит из симметричной части <tex>a_1,\alphacdots, a_n</tex> представимо в виде периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда <tex>\alpha2a_0</tex> квадратичная иррациональность.
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex>. Рассмотрим <tex>\alpha=\langle a_0,a_1,\cdots,\overline{a_k,\cdots a_n}\rangle</tex>, тогда введём - приведённая и <tex>\alpha_k=\langle \overline{a_k,\cdots, a_n}\rangle</tex>. Тогда <tex>\alpha_k=\langle a_k,\cdots, a_n, \overline{\alpha_k} \rangle</tex>. <tex>\alpha_kbeta=-\frac{P_n'\alpha_k+P_{n-1}'}{Q_n'\alpha_k+Q_overline{n-1}'}\Rightarrow Q_n'\alpha_k^2+(P_n'+Q_{n-1alpha}')\alpha_k+P_{n-1}'=0</tex> Поэтому <tex>\alpha_k</tex> квадратичная иррациональность, так . Так как иррационально и удовлетворяет уравнению с целыми коэффициентами. Аналогично получим, что <tex>\alpha = \fracbeta_{P_k\alpha_kn+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k=a_n+Q_{k-1}}</tex>. Поэтому и <tex>\alpha</tex> квадратичная иррациональность. <tex>\Leftarrow</tex>. Пусть <tex>a\alpha^2+b\alpha+c=0</tex>. Разложим <tex>\alpha</tex> в цепную дробь и для <tex>\forall k:\alpha=\frac{P_k\alpha_k+P_{k-1}}{Q_k\alpha_k+Q_{k-1}beta_n}</tex>. Подставим в уравнение и заменим коэффициенты , то <tex>A_k\alpha_k^2+B_k\alpha_k+C_kbeta=0</tex>. Где <tex>A_k=aP_k^2+bP_kQ_k+cQ_k^2</tex>a_n,\cdots, a_0, <tex>B_k=2aP_kP_{k-1}+bP_{k-1}Q_k+bP_kQ_{k-1}+2cQ_kQ_{k-1}</tex> и <tex>C_k=aP_{k-1}^2+bP_{k-1}Q_{k-1}+cQ_{k-1}^2</tex>. Вычислим и упростим дискриминант и получим: <tex>B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac\cdots</tex>.
Ограничим Рассмотрим <tex>A_k,B_k,C_k</tex>. По тому, что <tex>~|\alpha-\fracsqrt{P_kd}{Q_k}|<+[\fracsqrt{1}{Q_k^2d}]</tex> имеем <tex>\frac{P_k}{Q_k}=\alpha-\frac{\epsilon}{Q_k^2},\epsilon\in(-1;1)</tex>приведённая.Отсюда Рассмотрим <tex>\frac{A_k}{Q_k^2}alpha_1=a(\frac{P_k}{Q_k})^2+b(\frac{P_k1}{Q_k})+c=a\alpha^2+b\alpha+c-2a[\alpha]}=\frac{\epsilon1}{Q_k^2}+a\fracsqrt{\epsilon^2}{Q_k^4d}-b[\fracsqrt{\epsilond}{Q_k^2]}=\beta</tex>. Отсюда <tex>A_k=-2a\alphalangle a_1, a_2,\epsilon+acdots, a_n,\epsilon-bcdots\epsilonrangle=\Rightarrow~|A_k|\leqslant~|2a\alpha|+~|a|+~|b|</tex>. Далее <tex>C_k = A_langle a_n, a_{kn-1}</tex>, значит тоже ограничено. Теперь <tex>B_k^2-4A_kC_k=b^2-4ac</tex> следовательно <tex>B_k^2\leqslant 4~|A_kC_k|+~|b^2-4ac|<4(2~|acdots\alpha|+~|a|+|b|)^2+~|b^2-4ac|rangle</tex>. То есть коэффициенты ограничены, но <tex>k</tex> принимает бесконечное число значений, значит <tex>\exists i,j:\alpha_i=\alpha_j; i>j</tex> значит цепная Из единственности представления в цепную дробь периодичнаследует утверждение теоремы.
}}
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Теория чиселВ разработке]]
