Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</math>
===Доказательство===
Рассмотрим три последующие подходящие дроби к <math>\alpha : \frac{P_k}{Q_k}, \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}} </math> и <math> \frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</math>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+2}^2}</math>. Так как <math>\frac{P_k}{Q_k}</math> и <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math> расположены по разные стороны от <math>\alpha</math>, то при нечётном <math>k</math> имеем <math>\frac{P_k}{Q_k}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2} </math>, а при чётном <math> k </math> - <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_k}{Q_k}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}</math>. Из последних двух неравенств следует, что <math>\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{Q_k^2}+\frac{1}{Q_{k+1}^2})\leqslant~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>
==Теорема 4==
