Изменения

[[Цепная дробь|Цепные дроби ]] позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число <mathtex>\alpha</mathtex> разложить в цепную дробь, то точность <tex>n</tex>-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству::<tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.{{Лемма|id=lm0|about=0|statement=<tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</tex>, где <tex>\frac{P_i}{Q_i}</tex> подходящие дроби к <tex>\alpha</tex>.|proof=Две последующие подходящие дроби будут лежать по разные стороны от <tex>\alpha</tex>. Значит <mathtex>~|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < ~|\frac{P_{i+1}}{Q_{i+1}}-\frac{P_i}{Q_i * }|</tex>. По [[Свойства_цепных_дробей|свойствам цепных]] дробей <tex>~|\frac{P_{i+1}}{Q_{i+1}} -\frac{P_i}{Q_i}|=\frac{~|(-1)^n|}{Q_iQ_{i+1}}</tex>. Откуда и следует условие теоремы.}}{{Теорема|id=th1|about=1|statement=Для любого иррационального числа <tex>\alpha</tex> существует бесконечное число дробей <tex>\frac{P}{Q}</tex> таких, что <tex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</tex>.|proof=Рассмотрим две последующие подходящие дроби к <tex>\alpha : \frac{P_k}{Q_k}</tex> и <tex> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</tex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <tex>|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}, |\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_{k+1}^2}</tex>. Отсюда <tex>|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}</tex>.Но поскольку <tex>\alpha</tex> лежит между <tex>\frac{P_k}{Q_k}</tex> и <tex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</tex>, то <tex>|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = |\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</tex>, вследствие чего <tex>\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}\leqslant\frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</tex>. Следовательно <tex>(\frac{1}{Q_k}-\frac{1}{Q_{k+1}})^2 \leqslant 0</tex>, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому, по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения <tex>k</tex>, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы.}}{{Теорема|id=th2|about=2|statement=Для любого иррационального числа <tex>\alpha</tex> существует бесконечное число дробей <tex>\frac{P}{Q}</tex> таких, что <tex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</tex>.|proof=Рассмотрим три последующие подходящие дроби к <tex>\alpha : \frac{P_k}{Q_k}, \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}} </tex> и <tex> \frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</tex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: < tex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}|\geqslant\frac{1}{Q_i\sqrt{5}Q_{k+2}^2}</mathtex>.

==Теорема 1==Для любого иррационального числа Так как <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <mathtex>\frac{PP_k}{QQ_k}</mathtex> таких, что и <mathtex>~|\alpha-\frac{PP_{k+1}}{Q}|<\fracQ_{k+1}{2Q^2}</mathtex>===Доказательство===Рассмотрим две последующие подходящие дроби к расположены по разные стороны от <mathtex>\alpha : \frac{P_k}{Q_k} </mathtex> и , то при нечётном <mathtex> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</mathtex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <mathtex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{2Q_k^2}, ~|\alpha-+\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\fracsqrt{1}{2Q_{k+15}Q_k^2}</math>. Отсюда <math>~|\leqslant\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-leqslant\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant-\frac{1}{2Q_k^2}+\fracsqrt{15}{2Q_Q_{k+1}^2}</mathtex>.Но поскольку , а при чётном <mathtex>\alphak </mathtex> лежит между - <math>\frac{P_k}{Q_k}</math> и <mathtex>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>, то <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|+~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = ~|\frac{P_k}{Q_k}-\fracsqrt{P_{k+15}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>, вследствие чего <math>\frac{1}{2Q_k^2}+\frac{1}{2Q_{k+1}^2}leqslant\alpha\leqslant\frac{1P_k}{Q_k Q_{k+1}}</math>. Следовательно <math>(-\frac{1}{Q_k}-\frac{1}sqrt{Q_{k+15}})Q_k^2 \leqslant 0}</mathtex>, что невозможно. Мы пришли к противоречию. Поэтому по крайней мере для одной из двух подходящих дробей выполнено условие теоремы. Придавая различные значения k, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих условию теоремы. q.e.d.

==Теорема 2==Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей Из последних двух неравенств следует, что <mathtex>\frac{P1}{Q\sqrt{5}</math> таких, что <math>~|\alpha-}(\frac{P1}{QQ_k^2}|<+\frac{1}{\sqrtQ_{5k+1}Q^2}</math>===Доказательство===Рассмотрим три последующие подходящие дроби к <math>)\alpha : leqslant~|\frac{P_k}{Q_k}, -\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}} </math> и <math> | = \frac{P_1}{Q_k Q_{k+21}}{</tex>. Умножив обе части на <tex>Q_{k+1}^2}}</mathtex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имееми перенеся все члены в левую часть получим: <mathtex>~|\alpha-(\frac{P_kQ_{k+1}}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{)^2 - \sqrt{5}Q_k^2}, ~|\alpha-(\frac{P_Q_{k+1}}{Q_k}) + 1 \leqslant 0</tex>. То есть <tex>(\frac{Q_{k+1}}|\geqslant{Q_k}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_}{k+12})^2}, ~|\alpha-leqslant \frac{P_1}{4}</tex>, следовательно для целых <tex>Q_k</tex> и <tex>Q_{k+2}1}</tex> имеем <tex>\frac{Q_{k+21}}{Q_k}|\geqslant< \frac{1}{+\sqrt{5}Q_}{k+2}^2}</mathtex>.

Так как <mathtex>\frac{P_kP_{k+1}}{Q_kQ_{k+1}}</mathtex> и <mathtex>\frac{P_{k+12}}{Q_{k+12}}</mathtex> расположены по разные стороны от <mathtex>\alpha</mathtex>, то при нечётном <math>k</math> имеем аналогично получаем <mathtex>\frac{P_k}{Q_k}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_{k+1}}{Q_{k+12}}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2} </math>, а при чётном <math> k </math> - <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_k}{Q_k}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}</mathtex>.

Из последних двух неравенств следует, что Пользуясь рекуррентным соотношением получаем <mathtex>\frac{1}{+\sqrt{5}}({2} > \frac{1}Q_{Q_k^k+2}}{Q_{k+1}} = \frac{Q_{k+1}a_{k+1}+Q_k}{Q_{k+1}^2})\leqslant~|= a_{k+1} + \frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_Q_{k+1}}> 1 + \frac{Q_2}{k1+1\sqrt{5}}| = \frac{1+\sqrt{5}}{Q_k Q_{2}</tex>. Пришли к противоречию. Значит для одной из трёх последовательных подходящих дробей будет выполняться условие теоремы. Тогда придавая различные значения <tex>k+1</tex> получим бесконечно много дробей, для которых выполняется условие теоремы.}}{{Лемма|id=lm1 |about=1|statement=Любую конечную цепную дробь <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n \rangle</mathtex>с чётным(нечётным) числом подходящих дробей можно представить в виде эквивалентной конечной цепной дроби с нечётным(чётным) числом подходящих дробей. Умножив обе части на |proof=Если <tex>a_n \geqslant 2</tex> : <mathtex>Q_\langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n \rangle = \langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n-1,1 \rangle</tex>. Если <tex>a_n = 1</tex> : <tex>\langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1}, 1\rangle = \langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{kn-1} +1\rangle</tex>.}^}{{Лемма|id=lm2|about=2|statement=Если <tex>x = \frac{P\zeta+R}{Q\zeta+S}</mathtex>, где <tex>\zeta > 1, P, Q, R, S</tex> удовлетворяют <tex>Q>S>0</tex> и перенеся все члены в левую часть получим: <mathtex>PS-QR= \pm 1</tex>, то <tex>(\frac{Q_R}{S}, \frac{P}{k+Q} </tex> - n-1-ая и n-ая подходящие дроби для <tex>x</tex>.|proof=Разложим <tex>\frac{P}{Q}</tex> в цепную дробь<tex>\langle a_0, a_1, a_2, \dots, a_n \rangle = \frac{P_n}{Q_kQ_n}</tex>.По [[#lm1|лемме 1]] мы можем задать чётное либо нечётное <tex>n : PS-QR=(-1)^2 {n- \sqrt{51}</tex><tex>P_nS-Q_nR=(\frac-1)^{Q_n-1}=P_nQ_{k+n-1}-P_{n-1}Q_n</tex> следовательно <tex>P_n(S-Q_{Q_kn-1}) + =Q_n(R-P_{n-1 \leqslant 0})</mathtex>. То есть Так как <tex>P_n</tex> и <mathtex> Q_n</tex> взаимно просты, то <tex>(S-Q_{n-1})\fracvdots Q_n </tex>. Но <tex>Q_n = Q > S</tex> следовательно <tex> Q_n > S-Q_{n-1}</tex>, что возможно только если <tex>S=Q_{k+n-1}</tex> аналогично <tex>R=P_{n-1}</tex>. Что и требовалось доказать.}}{{Теорема|id=contFracCrit|about=3|statement=Если некоторая дробь <tex>\frac{P}{Q_kQ}</tex> удовлетворяет условию <tex>~|\alpha -\frac{\sqrt{5}P}{2Q})^2 \leqslant |<\frac{1}{42Q^2}</mathtex>, следовательно то она {{---}} подходящая дробь для целых <mathtex>Q_k\alpha </mathtex> и .|proof=Пусть для дроби <mathtex>Q_\frac{P}{k+1Q}</mathtex> имеем выполняется условие теоремы, тогда <mathtex>\frac{Q_P}{k+1Q}-\alpha=\frac{\epsilon\theta}{Q_kQ^2} </tex>, где <tex>~|\epsilon| = 1</tex>, <tex>0<\theta< \frac{1+}{2}</tex>. Дробь <tex>\sqrtfrac{5P}{Q}</tex> можно представить в виде конечной цепной дроби <tex>\langle a_0, \cdots, a_n \rangle </tex>. В силу [[#lm1|леммы 1]] мы можем сделать <tex> n</tex> чётным или нечётным. Пусть <tex> n </tex> такое, что <tex>\epsilon = (-1)^{2n-1}</mathtex>.

Так как Возьмём <mathtex>\omega = \frac{P_{k+1}{\theta}- \frac{Q_{k+n-1}}{Q_n} > 1</mathtex> и . Получим <mathtex>\theta = \frac{P_Q_n}{k\omega Q_n +2Q_{n-1}} </tex>. Тогда <tex> \alpha = \frac{P}{Q}-\frac{Q_\epsilon\theta}{k+Q^2}}</mathtex> расположены по разные стороны от . Заметим, что <mathtex>\alphaepsilon = P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n</mathtex>, то аналогично получаем тогда <mathtex>\alpha = \frac{Q_P_n}{Q_n}-\frac{P_nQ_{n-1}-P_{k+2n-1}Q_n}{Q_n(\omega Q_n+Q_{k+n-1})} < /tex>. Получаем в итоге <tex>\alpha = \frac{1\omega P_n +\sqrtQ_{5n-1}}{2\omega Q_n + Q_{n-1}}</mathtex>.Следовательно, по [[#lm2|лемме 2]] теорема доказана.}}

Пользуясь рекуррентным соотношением получаем <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2} > \frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} = \frac{Q_{k+1}a_{k+1}+Q_k}{Q_{k+1}} = a_{k+1} + \frac{Q_k}{Q_{k+1}} > 1 + \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>. Пришли к противоречию. Значит для одной из трёх последовательных подходящих дробей будет выполняться условие теоремы. Тогда придавая различные значения <math>k</math> получим бесконечно много дробей, для которых выполняется условие теоремы. q.e.d. ==Теорема 4==Если некоторая дробь <math>\frac{P}{Q}</math> удовлетворяет условию <math>~|\alpha - \frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</math>, то она - подходящая дробь для <math> \alpha </math>.===Лемма1===Любую конечную цепную дробь <math><a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n></math> с чётным(нечётным) числом подходящих дробей можно представить в виде эквивалентной конечной цепной дроби с нечётным(чётным) числом подходящих дробей.====Доказательство====Если <math>a_n \geqslant 2 [[Категория: <a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n> = <a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n-1,1></math>. Если <math>a_n = 1 : <a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1}, 1> = <a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1} + 1></math>. ===Доказательство===Теория чисел]]