221
правка
Изменения
м
[[Цепная дробь|Цепные дроби]] позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число <tex>\alpha</tex> разложить в цепную дробь, то точность n-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству:
<tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.
Нет описания правки
[[Цепная дробь|Цепные дроби]] позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число <tex>\alpha</tex> разложить в цепную дробь, то точность <tex>n</tex>-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству::<tex>|\alpha-\frac{P_i}{Требует доработкиQ_i}| < \frac{1}{Q_i \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</tex>.{{Лемма|item1id=(Исправлено. Создана отдельная статья)Необходимо добавить теоремы о том, что для любого вещественного числа можно построить цепную дробьlm0|about=0|statement=<tex>|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| < \frac{1}{Q_i \cdot Q_{i+1}} < \frac{1}{Q_i^2}</tex>, где <tex>\frac{P_i}{Q_i}</tex> подходящие дроби которой стремятся к этому числу и теорему о том, что для любых <tex>a_i\alpha</tex>.|proof=Две последующие подходящие дроби будут лежать по разные стороны от <tex>\alpha</tex> . Значит <tex>~|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}|<~|\frac{P_{i+1}}{Q_{i+1}}-\frac{P_i}{Q_i}|</tex>. По [[Свойства_цепных_дробей|свойствам цепных]] дробей <tex>~|\frac{P_{i+1}}{Q_{i+1}}-\frac{P_i}{Q_i}|=\frac{~|(нулевое целое, остальные натуральные-1) подходящие дроби имеют предел^n|}{Q_iQ_{i+1}}</tex>. Откуда и следует условие теоремы.
}}
{{Теорема
|id=th1
|about=2
|statement=
Для любого иррационального числа <tex>\alpha</tex> существует бесконечное число дробей <tex>\frac{P}{Q}</tex> таких, что <tex>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{\sqrt{5}Q^2}</tex>.
|proof=
Рассмотрим три последующие подходящие дроби к <tex>\alpha : \frac{P_k}{Q_k}, \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}} </tex> и <tex> \frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</tex>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <tex>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}|\geqslant\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+2}^2}</tex>.
|about=1
|statement=
Любую конечную цепную дробь <tex><\langle a_0, a_1, a_2,\cdots, a_n>\rangle</tex> с чётным(нечётным) числом подходящих дробей можно представить в виде эквивалентной конечной цепной дроби с нечётным(чётным) числом подходящих дробей.
|proof=
Если <tex>a_n \geqslant 2</tex> : <tex><\langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n> \rangle = <\langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_n-1,1>\rangle</tex>. Если <tex>a_n = 1</tex> : <tex><\langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1}, 1> \rangle = <\langle a_0, a_1, a_2,\cdots,a_{n-1} + 1>\rangle</tex>.
}}
{{Лемма
|about=2
|statement=
Если <tex>x = \frac{P\zeta+R}{Q\zeta+S}</tex>, где <tex>\zeta > 1, P, Q, R, S</tex> удовлетворяют <tex>Q>S>0</tex> и <tex>PS-QR= +- \pm 1</tex>, то <tex>\frac{R}{S}, \frac{P}{Q} </tex> - n-1-ая и n-ая подходящие дроби для <tex>x</tex>.
|proof=
Разложим <tex>\frac{P}{Q}</tex> в цепную дробь<tex><\langle a_0, a_1, a_2, \dots, a_n> \rangle = \frac{P_n}{Q_n}</tex>.
По [[#lm1|лемме 1]] мы можем задать чётное либо нечётное <tex>n : PS-QR=(-1)^{n-1}</tex>
<tex>P_nS-Q_nR=(-1)^{n-1}=P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n</tex> следовательно <tex>P_n(S-Q_{n-1})=Q_n(R-P_{n-1})</tex>. Так как <tex>P_n</tex> и <tex> Q_n</tex> взаимно просты, то <tex>(S-Q_{n-1})\vdots Q_n </tex>. Но <tex>Q_n = Q > S</tex> следовательно <tex> Q_n > S-Q_{n-1}</tex>, что возможно только если <tex>S=Q_{n-1}</tex> аналогично <tex>R=P_{n-1}</tex>. Что и требовалось доказать.
}}
{{Теорема
|id=contFracCrit
|about=3
|statement=
Если некоторая дробь <tex>\frac{P}{Q}</tex> удовлетворяет условию <tex>~|\alpha - \frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</tex>, то она {{- --}} подходящая дробь для <tex> \alpha </tex>.
|proof=
Пусть для дроби <tex>\frac{P}{Q}</tex> выполняется условие теоремы, тогда <tex>\frac{P}{Q}-\alpha=\frac{\epsilon\theta}{Q^2}</tex>, где <tex>~|\epsilon| = 1</tex>, <tex>0<\theta<\frac{1}{2}</tex>. Дробь <tex>\frac{P}{Q}</tex> можно представить в виде конечной цепной дроби <tex>\langle a_0, \cdots, a_n \rangle </tex>. В силу [[#lm1|леммы 1]] мы можем сделать <tex> n</tex> чётным или нечётным. Пусть <tex> n </tex> такое, что <tex>\epsilon = (-1)^{n-1}</tex>.
