Изменения
Нет описания правки
Разложим <tex>\frac{P}{Q}</tex> в цепную дробь<tex><a_0, a_1, a_2, \dots, a_n> = \frac{P_n}{Q_n}</tex>.
По [[#lm1|лемме 1]] мы можем задать чётное либо нечётное <tex>n : PS-QR=(-1)^{n-1}</tex>
<tex>P_nS-Q_nR=(-1)^{n-1}=P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n</tex> следовательно <tex>P_n(S-Q_{n-1})=Q_n(R-P_{n-1})</tex>. Так как <tex>P_n</tex> и <tex> Q_n</tex> взаимно просты, то <tex>(S-Q_{n-1})\vdots Q_n </tex>. Но <tex>Q_n = Q > S</tex> следовательно <tex> Q_n > S-Q_{n-1}</tex>, что возможно только если <tex>S=Q_{n-1}</tex> аналогично <tex>R=P_{n-1}</tex>. Что и требовалось доказать.
}}
Если некоторая дробь <tex>\frac{P}{Q}</tex> удовлетворяет условию <tex>~|\alpha - \frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</tex>, то она - подходящая дробь для <tex> \alpha </tex>.
|proof=Пусть для дроби <tex>\frac{P}{Q}</tex> выполняется условие теоремы, тогда <tex>\frac{P}{Q}-\alpha==Доказательство===\frac{\epsilon\teta}{Q^2}</tex>}}
[[Категория:Теория чисел]]
