Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Циклическое пространство графа

9 байт добавлено, 19:57, 26 декабря 2014
Нет описания правки
Пусть <tex> m = |E(G)| </tex>, <tex> n = |V(G)| </tex>, <tex> k </tex> {{---}} количество компонент связности <tex> G </tex>.
<tex> B^t </tex> {{---}} линейное пространство, элементами которого являются <tex> t </tex>{{---}}мерные двоичные вектора и их сложение определено, как сложение по модулю <tex> 2 </tex>.
{{Определение
{{Определение
|definition =
'''Обобщенный цикл графа <tex> G</tex>''' {{---}} элемент линейного пространства <tex>C </tex>
}}
Рассмотрим граф <tex> G_1(V_1,E_1) </tex>, где <tex> E_1 </tex> {{---}} множество ребер, таких, что на соответствующих местах вектора <tex> x </tex> стоят единицы, а <tex> V_1 = V(G) </tex> .
В силу определения обобщенного цикла: <tex> \forall v : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0(\mod~2) </tex>.
Покажем по индукции, что <tex> G </tex> можно декомпозировать на несколько реберно непересекающихся простых циклов. Ведем индукцию по числу ребер.
База индукции <tex> |E_1(G)|=0 </tex> очевидно выполняется.
Рассмотрим <tex> G_1 </tex>. <tex> \forall v : v \in V_1 ~ deg(v) \equiv 0(\mod~2) \Rightarrow |E_1(G)| > |V(G)| - 1 \Rightarrow </tex> существует цикл, добавим его в декомпозицию, удалим ребра, принадлежащие ему. В силу того, что четность степеней вершин не изменилась, по предположению индукции декомпозируем оставшийся граф.
Отсюда следует, что каждому обобщенному циклу соответствуют ребра, которые образуют набор реберно непересекающихся простых циклов.
333
правки

Навигация