Изменения
wikitex removal
|definition=
}}
[[Файл:Циркул2.png|frame|справа|Рисунок 1. Пример графа и циркуляции в нем (поток/пропуск.способность)]]
==Решение==
<wikitex>Для решения этой задачи нам понадобится изменить заменим исходную сеть $G$ в на $G'$ следующим образом. Сначала добавим в граф вершины $xs$ {{---}} новый исток и $yt$ {{---}} новый сток. Для каждого ребра $e_i = v_{from} \xrightarrow{l_i, c_i} v_{to}$ добавим ребра рёбра $x s \xrightarrow{0, l_i} v_{to}$ и $u_{from} \xrightarrow{0, l_i} yt$, а также сделаем в ребре $e_i$ изменения: $c_i = c_i - l_i, l_i = 0$(см. рисунок 2).
[[Файл:Циркул3Циркуляция.png|frame|center|Рисунок 2. Слева - изначальный граф. Для каждого ребра заданы его нижняя и верхняя пропускные способности. Справа - граф после преобразований рёбер.]]
Каждое ребро изначального графа мы заменили заменяется на три новых. Если по изначальному ребру $e_i = (v_{from}, v_{to})$ должен течь в исходной сети протекает поток $l_i \leqslant f_i \leqslant c_i$, то в новой сети по ребру $(xs, v_{to})$ должен течь поток, равный $l_i$, то есть его пропускной способности. Поток, который раньше мог вытекать вытекает из $v_{from}$ по изначальному ребрув $G$, заменяется на поток, который может течь протекает по ребрам рёбрам $(v_{from}, v_{to})$ и $(v_{from}, yt)$ (это ясно из того, что поскольку сумма их пропускных способностей в полученном графе равна $c_i$). Аналогично в вершине , для вершины $v_{to}$, суммарный возможный входящий поток в которую не изменился. Таким образом, любой допустимый поток по любому ребру в изначальном графе можно распределить между тремя ребрами рёбрами в полученном графе. Заметим, что в этом самом графе сети $G'$ все $l_i = 0$, то есть мы имеем обыкновенную сеть.
Требовалось найти циркуляцию в исходной сети, то есть а значит проверитьсуществование потока, есть ли такой поток, что для которого выполнено равенство <tex>\sum\limits_v f(u,v)=0</tex> выполнено для всех вершин этого графа. Но это Это равносильно существованию потока между вершинами $xs$ и $yt$ в сети $G'$, который полностью насытит ребрарёбра, исходящие из истока. Действительно, это значит, что этот поток в исходном графе насытит $i$-ое ребро как минимум на $l_i$, то что и является нужным необходимым требованием. Если этот поток существует, то мы будем иметьбудет выполнено:* $\sum\limits_v f(u,v)=0,$ где $u \in V'-\{xs,yt\}, v \in V'$, то есть для всех исходных вершин;* В $G': f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow 0 \leqslant f_i \leqslant c_i - l_i \Rightarrow l_i \leqslant f_i + l_i \leqslant c_i$, то есть все что удовлетворяет всем ограничениям.то Значит, этот поток и есть '''циркуляцию'''циркуляция.
Запустим в новой сети один из алгоритмов поиска максимального потока. Если он не смог полностью насытить все ребра их рёбра из истока, то и никакой другой по величине поток этого сделать не сможет, значит, циркуляции нет. Для получения величин потоков по каждому ребру вдоль каждого ребра в изначальной сети в случае, если циркуляция есть, достаточно просто прибавить к потокам вдоль рёбер в ребрах сети $eG'_i$ величины $l_i$соответствующие значения минимальной пропускной способности.
</wikitex>
==Псевдокод==
==Источникиинформации==
* [http://dl.dropbox.com/u/39566886/Graph-Theory-Algorithms-M-Ashraf-Iqbal.pdf M. Ashraf Iqbal {{---}}'''Graph Theory and Algorithms''']
* [http://e-maxx.ru/algo/flow_with_limits e-maxxMAXimal :: algo :: flow with limits]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Circulation_problem Wikipedia — Circulation problem]
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Задача о максимальном потоке]]