Изменения

'''Цифровая сортировка''' — (англ. ''radix sort'') {{---}} один из алгоритмов сортировки, использующих внутреннюю структуру сортируемых объектов.

[[Файл:Цифровая_сортировка.png|thumb|right|450px|Пример цифровой сортировки трехзначных чисел, начиная с младших разрядов]]Пусть у нас есть [[Файл:Msd-sort.png|thumb|right|450px|Пример цифровой сортировки трехзначных чисел, начиная со старших разрядов]]Имеем множество последовательностей одинаковой длины, состоящих из элементов, на которых задано [[Отношение порядка|отношение линейного порядка]]. Требуется отсортировать эти последовательности в лексикографическом порядке.

 Такой подход к алгоритму называют '''LSD-сортировкой''' (Least Significant Digit radix sort). Существует модификация алгоритма цифровой сортировки, анализирующая значения разрядов, начиная слева, с наиболее значащих разрядов. Данный алгоритм известен, как '''MSD-сортировка''' (Most Significant Digit radix sort).=== Корректность алгоритма LSD-сортировки ===

=== LSD-сортировка ===В качестве примера рассмотрим сортировку чисел. Как говорилось выше, в такой ситуации в качестве устойчивой сортировки применяют сортировку подсчетом, так как обычно количество различных значений разрядов не превосходит количества сортируемых элементов. Ниже приведен псевдокод цифровой сортировки, которой подается массив <tex> A </tex> размера <tex> m n </tex>-разрядных чисел размера <tex> n m </tex>-разрядных чисел . Сам по себе алгоритм представляет собой цикл по номеру разряда, на каждой итерации которого элементы массива <tex> A </tex> размещаются в нужном порядке во вспомогательном массиве <tex> B </tex>. Для подсчета количества объектов, <tex> i </tex>-й разряд которых одинаковый, а затем и для определения положения объектов в массиве <tex> B </tex> используется вспомогательный массив <tex> C </tex>. Функция <tex> \mathrm{digit(x, i) } </tex> возвращает <tex> i </tex>-й разряд числа <tex> x </tex>. Также считаем, что значения разрядов меньше <tex> k </tex>. '''function''' radixSort(int[] A):

C[j] = 0;

C[d = digit(A[j], i) C[d] ++ count = 0 '''for''' j = 0 '''to''' k - 1 tmp = C[j] C[j] = count count += tmp '''for''' j = 0 '''to''' n - 1 d = digit(A[j], i) B[C[d]] = A[j] C[d] + + A = B === MSD-сортировка ===Будем считать, что у всех элементов одинаковое число разрядов. Если это не так, то положим на более старших разрядах элементы с самым маленьким значением — для чисел это <tex>0</tex>. Сначала исходный массив делится на <tex>k</tex> частей, где <tex>k</tex> — основание, выбранное для представления сортируемых объектов. Эти части принято называть "корзинами" или "карманами". В первую корзину попадают элементы, у которых старший разряд с номером <tex>d = 0</tex> имеет значение <tex>0</tex>. Во вторую корзину попадают элементы, у которых старший разряд с номером <tex>d = 0</tex> имеет значение <tex>1</tex> и так далее. Затем элементы, попавшие в разные корзины, подвергаются рекурсивному разделению по следующему разряду с номером <tex>d = 1; </tex>. Рекурсивный процесс разделения продолжается, пока не будут перебраны все разряды сортируемых объектов и пока размер корзины больше единицы. То есть останавливаемся когда <tex>d > m</tex> или <tex>l \geqslant r</tex>, где m — максимальное число разрядов в сортируемых объектах, <tex>l</tex>, <tex>r</tex> — левая и правая границы отрезка массива <tex>A</tex>. В основу распределения элементов по корзинам положен метод распределяющего подсчета элементов с одинаковыми значениями в сортируемом разряде. Для этого выполняется просмотр массива и подсчет количества элементов с различными значениями в сортируемом разряде. Эти счетчики фиксируются во вспомогательном массиве счетчиков <tex>cnt</tex>. Затем счетчики используются для вычисления размеров корзин и определения границ разделения массива. В соответствии с этими границами сортируемые объекты переносятся во вспомогательный массив <tex>c</tex>, в котором размещены корзины.После того как корзины сформированы, содержимое вспомогательного массива <tex>c</tex> переносится обратно в исходный массив <tex>A</tex> и выполняется рекурсивное разделение новых частей по следующему разряду в пределах границ корзин, полученных на предыдущем шаге. Изначально запускаем функцию так <math>\mathrm{radixSort(A, 0, A.length - 1, 1)}</math>  '''function''' radixSort(int[] A, int l, int r, int d): '''if''' d > m '''or''' l >= r '''return''' '''for''' j = 1 0 '''to''' k - + 1 C cnt[j] = C0 '''for''' i = l '''to''' r j = digit(A[i], d) cnt[j + 1]++ '''for''' j = 2 '''to''' k cnt[j] + C= cnt[j - 1]; '''for''' j i = n - 1 l '''to''' 0 r B[C[ j = digit(A[ji], id) c[l + cnt[j]] = A[i] cnt[j]; -- '''for''' i = l '''to''' r C A[i] = c[digiti] radixSort(A, l, l + cnt[j0]- 1, d + 1) '''for''' i)] = C[digit1 '''to''' k radixSort(A, l + cnt[ji - 1], l + cnt[i)] - 1; A = B;, d + 1)

===Сложность LSD-сортировки===Пусть <tex> m </tex> {{---}} количество разрядов, <tex> n </tex> {{---}} количество объектов, которые нужно отсортировать, <tex> T(n) </tex> {{---}} время работы устойчивой сортировки. Цифровая сортировка выполняет <tex> k </tex> итераций, на каждой из которой выполняется устойчивая сортировка и не более <tex> O(1) </tex> других операций. Следовательно время работы цифровой сортировки {{---}} <tex> O(k \cdot T(n)) </tex>.

Рассмотрим отдельно случай сортировки чисел. Пусть в качестве аргумента сортировке передается массив, в котором содержатся <tex> n </tex> <tex> m </tex>-значных чисел, и каждая цифра может принимать значения от <tex> 0 </tex> до <tex> k - 1 </tex>. Тогда цифровая сортировка позволяет отсортировать данный массив за время <tex> O(m \cdot (n + k)) </tex>, если устойчивая сортировка имеет время работы <tex> O(n + k) </tex>. Если <tex> k </tex> небольшое, то оптимально выбирать в качестве устойчивой сортировки сортировку подсчетом.

Существует также модификация MSD-сортировки, при которой рекурсивный процесс останавливается при небольших размерах текущего кармана, и вызывается более быстрая сортировка, основанная на сравнениях (например, сортировка вставками). == Литература См. также ==* Дональд Кнут Искусство программирования, том 3. [[Сортировка и поискподсчетом]]* Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ[[Сортировка вставками]]

== Ссылки Источники информации ==* [[wikipedia:ru:Поразрядная сортировка|Википедия {{---}} Цифровая сортировка]]