Изменения
что значит n-я строфа ?
{{Определение
|definition = В комбинаторной математике '''числа Белла''' (''англ. Bell's numbers'') показывают определяют количество возможных способов разбиения множества<ref>[[wikipedia:Partition of a setКомбинаторные объекты#Разбиение на подмножества|Разбиение разбиения множества]]</ref> из <tex>n</tex> элементов на подмножества.
}}
Числа Белла начинаются с <tex dpi="130">B_0=B_1=1</tex> и образуют последовательность:
:<tex dpi="130">1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437,
</tex>
<tex dpi="130">n</tex>-й элемент множества чисел Белла, <tex dpi="130">B_n</tex>, показывает определяет количество различных способов разбиения множества, то есть количество [[Отношение эквивалентности|отношений эквивалентности]] в нем.
==Подсчет==
[[File:XxxCircles.png|400px|thumb|upright|52 разбиения множества из 5 элементов]]
[[File:Order.png|400px|border|Разбиения множеств могут быть расположены частично-упорядоченном виде. Каждое подмножество длины n использует одно из подмножеств длины <tex dpi="130">n-1</tex>.]]
Разбиение множества <tex dpi="130">S</tex> определяется как совокупность '''непустых, попарно непересекающихся подмножеств множества''' <tex dpi="130">S</tex>. Например, <tex>B_3 = 5</tex>, потому что множество, состоящее их <tex>3</tex> элементов <tex> \{ a, b , c \} </tex> может быть разделено <tex>5</tex> различными способами:
:<tex> \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} </tex>
==Схемы рифмовки==
Числа Белла показывают ''количество схем рифмовки на <tex dpi="130">n</tex>-ой строфыстроках''. Схема рифмы описывает, какие строки рифмуются друг с другом, и поэтому может быть истолковано как разбиение множества отношение экивалентности на множестве строк в подмножества рифм. Таким образом, <tex>15</tex> возможных четверостиший схемами рифмовки являются:<tex dpi="130"> \newline{} AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC,
ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, ABCD</tex>.
:<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>
Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]:
:<tex dpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}.</tex>, Число где число Стирлинга <tex dpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов <tex dpi = "150">n</tex> в ровно <tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.
Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref> получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:
:<tex dpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>
===Производящая функция===
Экспоненциальной [[производящая функция|производящей функцией]] числе чисел Белла является:
:<tex dpi = "150">B(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</tex>
Суммирование используется для определения экспоненциальной производящей функции для любой последовательности чисел. Правая часть является результатом выполнения суммирования в конкретном случае.
===Моменты распределения вероятностей===
Числа Белла удовлетворяют '''формуле Добинского''':
:<tex dpi = "150">B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.</tex>
Эта формула может быть получена за счет расширения экспоненциальной производящей функции, используя ряд Тейлора <ref>[[wikipedia:Taylor series|Ряд Тейлора]]</ref> для экспоненциальной функции, а затем собирая условия с аналогичным показателем экспоненты. <ref>Flajolet & Sedgewick (2009)</ref>.
Это позволяет интерпретировать ''B<sub>n</sub>'' как <tex dpi="130">n</tex>-й момент Пуассоновского распределения с ожидаемым значением <tex>1</tex>.
:<tex dpi = "150">B_{n+h} = \frac{(n+h)!}{W(n)^{n+h}} \times \frac{\exp(e^{W(n)} - 1)}{(2\pi B)^{1/2}} \times \left( 1 + \frac{P_0 + hP_1 + h^2P_2}{e^{W(n)}} + \frac{Q_0 + hQ_1 + h^2Q_2 + h^3Q_3 + h^4Q_4}{e^{2W(n)}} + O(e^{-3W(n)}) \right)</tex>
Асимптотическое выражение
:<tex dpi = "150">$$ \frac{\ln B_n}{n} = \ln n - \ln \ln n - 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \frac{1}{\ln n} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^2 + O\left(\frac{\ln \ln n}{(\ln n)^2} \right) $$ \newline {} \qquad \text{as }n\to\infty
</tex>
Было установлено '''де Брайном'''<ref>de Bruijn, N.G. (1981). Asymptotic methods in analysis (3rd ed.). Dover. p. 108.</ref> в <tex>1981</tex> году.
Числа Белла могут быть с легкостью '''вычислены''' с помощью '''треугольника Белла''', который также называют '''массивом Айткена''' или '''треугольником Пирса'''.
# Начнем с единицы. Помещаем ее в верхнюю строку. (<tex> x_{0,1} = 1 </tex>)
# Каждая новая строка должна начинаться с крайнего правого элемента прошлой строки. (<tex>x_{i,1} \leftarrow x_{i-1, ri}</tex> где <tex>r</tex> последний элемент )# Заполняем строчку <tex>(i-1)</tex> -й строки)# Определим остальные элементы строки по формуле <tex>( x_{i,j} \leftarrow x_{i,j-1} + x_{i-1,j-1} )</tex> # Повторяем пункт , начиная с <tex>3j = 2 </tex>, пока <tex> j = r \leqslant i + 1 </tex>).
# Крайнее левое число данной строки является числом Белла для этой строки. (<tex>B_i \leftarrow x_{i,1}</tex>)
Первые пять строк треугольника, построенного по этим правилам:
===Получение с помощью чисел Стирлинга второго рода===
[[Числа Стирлинга второго рода|'''Числа Стирлинга второго рода''']]: связаны друг с другом по следующей формуле:
<tex dpi="150">\left\{{n+1\atop k}\right\} = k \left\{{ n \atop k }\right\} + \left\{{n\atop k-1}\right\}
</tex>
Число Стирлинга второго рода показывает количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на <tex>k</tex> непустых подмножеств. Если сложить все числа Стирлинга второго рода, имеющих одинаковую <tex>n</tex>, то получим количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на непустых подмножеств, то есть <tex>n</tex>-ое число Белла.
{| border="1"
|-
