Изменения
→Вычисление производящей функции чисел Каталана
<tex>G(z) \cdot G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}z^n \sum\limits_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}</tex>
В последнем выражении выполним сдвиг индексации, положив <tex>n' = n + 1</tex>. Тогда имеем: <tex>n = n' - 1, n = 0 \Rightarrow n' = 1.</tex>. Кроме того, <tex>z^n = z^{n' - 1}</tex>. <tex>n - k</tex> преобразуется в <tex>n' - 1 - k</tex> (так как <tex>n' - 1 = n</tex>). Тогда, преобразуя предыдущее выражение, получаем:
<tex>G(z) \cdot G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}z^n \sum\limits_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} = \sum\limits_{n' = 1}^{\infty}z^{n' - 1} \sum\limits_{k = 0}^{n' - 1} C_k C_{n' - k - 1}</tex>
