85
правок
Изменения
Нет описания правки
''Доказательство''
Положим <tex>\Xi_mW_n^nk</tex> - фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>I[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = k+1</tex>. Будем обозначать полуплоскость полупространство в <tex>\mathbb{R}^{n}</tex> как <tex>G_{w, z}^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n} : w \dots cdot x \le z \}</tex>:<tex>\Xi_mW_n^n k := \{ x \in \mathbb{R} : k \le x \cdot 1_{[n]} \le k+1 \} \cap I^{n}</tex>
Тогда перейдем к следующему равенству:
:<tex>Vol_\mathrm{Vol}_{n}(\Xi_mW_n^nk) = Vol_n\mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k+1}^{n} \cap I^n) - Vol_n\mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},k}^{n} \cap I^n)</tex>
:<tex>= \frac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^{j}{n \choose j}(k+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{n \choose j}(k-j)^{n}]</tex>
:<tex> = \frac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{k+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(k+1-j)^n</tex>
