Изменения

Где <tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \le z \}</tex> - полупространство;

<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;

<tex>[n] := \{1,2...n\}</tex>;

<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> - множество, изоморфное подмножеству <tex>\mathbb{N}</tex>, {{---}} вектор, где компоненты номеровзначения координат с номерами, входящих входящими в <tex>K</tex>, равны 1, а остальные {{---}} нули;

Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r,0\}})^n</tex>.

|proof=С доказательством этой теоремы можно ознакомиться по [http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf здесьэтой]ссылке.

Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+...+x_n = m | m+1</tex>). Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице. Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} векторное скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>.