1632
правки
Изменения
м
'''''Числа Эйлера I рода''''' (''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от 1 до ''n'' таких, что в каждой из них существует ровно ''m'' подъемов. ==Числа Эйлера I рода обозначают как <tex dpi = "160">\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex dpi = "160">A(n, m)</tex>.{{Определение
1. # Количество подъемов в перестановке <tex dpi = "130">\theta</tex> равно количеству подъемов в <tex dpi = "130">\pi</tex>. Этого можно добиться, вставляя элемент <tex dpi = "130">n</tex> на самое первое место в <tex dpi = "130">\theta</tex> (всего <tex dpi = "160"190>\langle{n- 1\atop m}\rangle </tex> возможностей) или перед последним последним элементом каждого подъема(еще <tex dpi = "130">k m \times </tex><tex dpi = "160"190> \langle{n- 1\atop m}\rangle </tex> раз).# Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex>n</tex> во все места, не подходящие по критерию первого пункта. Таких вставок, как не трудно догадаться, можно совершить <tex>(n - m)</tex><tex dpi=190>\langle{n - 1\atop m - 1}\rangle</tex>.
2. Количество подъемов в новой перестановке на один больше предыдущего количества. Этого эффекта добиваемся вставкой элемента <tex dpi = "130">n</tex> в конце каждой перестановки или после элемента перестановки со значением <tex dpi = "130">n-1</tex>. Таких элементов, как не трудно догадаться, будет <tex dpi = "130">(n - k)</tex><tex dpi = "160">\langle{n\atop m}\rangle</tex>.Тогда рекуррентная формула имеет вид:
Тогда рекуррентная формула имеет вид: <tex dpi = "180"190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle </tex> <tex> = (m + 1)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n - 1\atop m}\right\rangle </tex> <tex> + (n - m)\left\langle{n - 1\atop m - 1}\right\rangle</tex> Примем также следующие начальные значения: <tex dpi = "180">\left\langle{n- 1\atop m- 1}\right\rangle = 0</tex>, если <tex dpi = "130">m < 0</tex> или если <tex dpi = "130">n = 0</tex>;
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''10'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''11'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''12'''''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
Стоит отметить, что гистрограмма, построенная на значениях чисел Эйлера I рода аппроксимируется к гистограмме, построенной на биноминальных коээфициентах (оба графика, представленные '''справа''', смасштабированы; масштаб указан на гистограмме):== См. также ==* [[Файл:Euler_I_histКомбинаторные_объекты#.D0.gif9F.D0.B5.D1.80.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BA.D0.B8|300pxПерестановки]]* [[Числа_Стирлинга_первого_рода|thumb|rightЧисла Стирлинга первого рода]]* [[Числа_Стирлинга_второго_рода|Числа Эйлера I Стирлинга второго рода (m < 90)]]* [[Файл:Binomial_hist.gifЧисла_Каталана|300px|thumb|right|Биномиальные коээфициенты (m < 60)Числа Каталана]] ==Примечания==<references/>
'''Полезные факты о числах ==Источники информации==<references/>*[http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number Eulerian number — Wikipedia]*[http://oeis.org/wiki/Eulerian_numbers Треугольник чисел Эйлера I рода'''— OEIS Wiki]1*[http://www.mathpages.com/home/kmath012/kmath012. Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то естьhtm Eulerian number — Math Pages]*[http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html Числа Эйлера — Wolfram Mathworld]*[http:<tex dpi = "160">\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n//www-1) - k}\right\rangle,\ n \ge 1,\ 0 \le k \le n-1personal.umich.edu/~mconger/andkpaper.pdf A Refinement of the Eulerian numbers]*[http://arxiv. \, <org/pdf/math/tex>0607715.pdf Доказательство свойства о взаимосвязи чисел Эйлера I рода и объема сечений гиперкуба]
2. Сумма всех значений каждого ряда равна <tex dpi = "130"> n! </tex>[[Категория::<tex dpi = "160">\sum_{k=0}^{n} \left\langle{n\atop m}\right\rangle = n!,\ n \ge 0, \,</tex>Дискретная математика и алгоритмы]]
3. <tex dpi = "160">\sum_{m=0}^n (-1)^m {\left\langle{n\atop m}\right\rangle}{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex>==Числа Эйлера II рода==[[Категория: Комбинаторика ]]
rollbackEdits.php mass rollback
|definition=
Пусть <tex dpi = "130">a</tex> и <tex dpi = "130">b</tex> - — соседние элементы некоторой перестановки порядка <tex dpi = "130">n</tex> причем <tex dpi = "130">a > < b</tex>. Тогда пара <tex dpi = "130">(a, b)</tex> называется '''подъемом''' (англ. ''ascent'') данной перестановки.
}}
'''''Числа Эйлера I рода''''' (англ. ''Eulerian numbers'') — количество [[Комбинаторные объекты|перестановок]] чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера I рода обозначают как <tex dpi=190>\langle{n\atop m}\rangle </tex> или же <tex>A(n, m)</tex>.
===Вывод рекуррентной формулы===Пусть у нас есть некая перестановка <tex dpi = "160"> \pi = \pi_1, \pi_2...\ldots \pi_{n-1} </tex>. Тогда операцией вставки элемента с номером <tex>n </tex> в какую-либо из позиций мы получим <tex dpi = "160">n</tex> перестановок вида <tex dpi = "160">\theta = \theta_1, \theta_2...\ldots \theta_p, n, \theta_q...\ldots \theta_{n-1}</tex>. Далее рассмотрим два случая:
Примем также следующее начальное значение:
:<tex dpi=190>\left\langle{0\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = [m = 0]</tex><ref>http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%B9%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 нотация Айверсона</ref>.
===Пример===
Рассмотрим все перестановки порядка <tex dpi = "130">4</tex>, в которых есть ровно <tex>2 </tex> подъема (в квадратных скобках один или больше подъемов подряд)::<tex dpi = "130"190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 11: [124]3, [13][24], [134]2, [14][23], 2[134], [23][14], [23][41], [24][13], 3[124], [34][12], 4[123], </tex>
Согласно алгоритму вывода рекуррентной формулы мы можем добавить '<tex>4' </tex> в следующие позиции всех перестановок порядка <tex dpi = "130">3</tex> с двумя подъемами, не увеличив количество подъемов:
:<tex dpi = "130"190> \left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = 1:[123] => \Rightarrow (4)[123], [1(4)][23], [12(4)]3
</tex>
Далее рассмотрим все перестановки порядка <tex dpi = "130">3</tex> с одним подъемом, причем операцией вставки <tex dpi = "130">4</tex> мы будем увеличивать количество перестановок подъемов на <tex>1</tex>:
:<tex dpi = "130"190> \left\langle{3\atop 1}\right\rangle </tex> <tex> = 4:</tex>
:<tex dpi = "130">[13]2 => \Rightarrow [13(4)]2, [13][2(4)];</tex>
:<tex dpi = "130">2[13] => \Rightarrow [2(4)][13], 2[13(4)];</tex>
:<tex dpi = "130">[23]1 => \Rightarrow [23(4)]1, [23][1(4)];</tex>
:<tex dpi = "130">3[12] => \Rightarrow [3(4)][12], 3[12(4)];</tex>
Таким образом мы убеждаемся в верности формулы:
:<tex dpi = "160"190> \left\langle{4\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> = (2 + 1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 2}\right\rangle </tex> <tex> + (4 - 2)</tex> <tex dpi=190>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = 11;</tex> ==Треугольник чисел Эйлера I рода и явная формула== ===Явная формула===Приведем также без вывода явную формулу для вычисления чисел Эйлера I рода: <tex dpi = "180">\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum_{k=0}^{m}[ (-1)^k {n+1\choose k} (m+1-k)^n]11;</tex>
===Треугольник чисел Эйлера I рода===
На значениях <tex dpi = "130">n = m</tex> чисел Эйлера I рода можно построить массив <tex dpi = "130">n \times m</tex>, нижнедиагональная часть которого названа треугольником чисел Эйлера I рода.
::{| class="number_triangle"
|- align="center"
| style="background:white; color:black; width:50px;" |
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''k m = 0'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''
|- align="center"
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:white; color:black;" | '''''1'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''26'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''57'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''120'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''247'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''14608'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''502'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
|}
===Явные формулы===
:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex>
:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex>
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===
{{Теорема
|statement=
Число <tex>\dfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> выражает объем части <tex>n</tex>-мерного единичного гиперкуба, ограниченного гиперплоскостями <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m</tex> и <tex>x_1+x_2+\dots+x_n=m-1</tex>.
|proof=
Для доказательства этого факта нам потребуется следующая теорема:
{{Теорема
|about=Об объемах сечений <tex>n</tex>-мерных гиперкубов полупространствами
|statement=
Пусть <tex>w \in \mathbb{R}</tex> — вектор с ненулевыми компонентами (<tex>w = {w_1, w_2 \ldots w_n}</tex>), а <tex>z \in \mathbb{R}_+</tex>. Тогда верно следующее равенство:
<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{w,z} \cap I^{n}) = \dfrac{1}{n! \prod\limits_{i=1}^{n}w_i} \sum\limits_{K \subseteq [n]} (-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex>
*<tex>G_{w, z}^{n} := \{x \in \mathbb{R}^{n} : (w \cdot x) \leqslant z \}</tex> — полупространство;
*<tex>I^n := [0,1]^n</tex>;
*<tex>[n] := \{1,2\ldots n\}</tex>;
*<tex>1_K</tex>, где <tex>K</tex> — подмножество <tex>\{1,2\ldots n\}</tex>, {{---}} вектор, где значения координат с номерами, входящими в <tex>K</tex>, равны <tex>1</tex>, а остальные {{---}} нули;
*Для <tex>r \in \mathbb{R}</tex> и <tex>n \in \mathbb{N}</tex> : <tex>r^n_+ := (\max{\{r, 0\}})^n</tex>.
|proof=С доказательством можно ознакомиться по ссылке <ref>http://arxiv.org/pdf/math/0607715.pdf</ref>.
}}
[[Файл:HypercubeEuler2_2.png|200px|thumb|m = 2, n = 1. V = 1/2]]
[[Файл:HypercubeEuler3.png|200px|thumb|m = 3, n = 2. V = 1/6]]
Рассмотрим пересечение гиперкуба полупространством <tex>G^n_{1_{[n]},m}</tex>. Вектор <tex>1_{[n]}</tex> (все координаты которого равны единицы) появляется здесь ввиду того, как мы определили в формулировке секущие гиперплоскости (<tex>x_1+x_2+\ldots +x_n = m | m+1</tex>) {{---}} это вектор нормали к <tex>\mathrm{G}</tex>. Очевидно, что при данном значении вектора произведение <tex>\prod\limits_{i=1}^{n}w_i</tex> равно единице (вектор <tex>w_i</tex> тут {{---}} единичный вектор <tex>1_{[n]}</tex>, то есть рассматривается произведение всех его координат {{---}} единиц). Рассмотрим выражение, стоящее под знаком суммы. При итерации по подмножествам <tex>[n]</tex> равной мощности будут получаться одинаковые слагаемые, так как выражение <tex>(-1)^{|K|}(z-w \cdot 1_K)^n_+</tex> зависит лишь от мощности итерируемого в сумме подмножества <tex>K</tex> {{---}} скалярное произведение <tex>w \cdot 1_K</tex> одинаково за счет того лишь факта, что оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат, где ровно <tex>n - |K|</tex> их обращаются в ноль. Такое скалярное произведение будет равно мощности <tex>K</tex>. Заменим итератор суммы значением мощности множества <tex>K</tex>. Также ограничим верхний индекс суммирования значением <tex>m+1</tex>, так как при больших значениях <tex>j</tex> слагаемое будет обращаться в ноль (<tex>r^n_+</tex>). Отсюда имеем <tex>{n \choose j}</tex> таких одинаковых слагаемых, где <tex>j = |K|</tex>.
Тогда перейдем от первоначальной формулировки теоремы к следующей:
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(G^n_{1_{[n]},m} \cap I^{n}) = \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{j = 0}^{m + 1} (-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^n</tex>
Положим <tex>W_n^m</tex> — фигура, образованная сечением гиперкуба <tex>[0,1]^{n}</tex> плоскостями <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} = m+1</tex>.
:<tex>W_n^m := \{ x \in \mathbb{R} : m \leqslant x \cdot 1_{[n]} \leqslant m+1 \} \cap I^{n}</tex>
Тогда перейдем к следующему равенству:
:<tex>\mathrm{Vol}_{n}(W_n^m) = \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m+1}^{n} \cap I^n) - \mathrm{Vol}_n(G_{1_{[n]},m}^{n} \cap I^n)</tex>
:<tex>= \dfrac{1}{n!}[\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^{j}{n \choose j}(m+1-j)^{n} - \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{j}{n \choose j}(m-j)^{n}]</tex>
:<tex> = \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m+1}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex>
:<tex> = \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j{n+1 \choose j}(m+1-j)^n</tex> (элемент суммы с номером <tex>j=m+1</tex> обращается в ноль)
:<tex> = </tex> <tex>\dfrac{1}{n!}</tex> <tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> (вторая явная формула)
}}
===Свойства===
# Нетрудно увидеть, что каждый ряд ненулевых значений симметричен относительно своей середины, то есть:
#:<tex dpi=190>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \left\langle{n\atop (n-1) - k}\right\rangle</tex><tex>,\ n \geqslant 1,\ 0 \leqslant k \leqslant n-1. \, </tex>
# Сумма всех значений каждого ряда равна <tex> n! </tex>:
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^{n}</tex><tex dpi=190> \left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex> <tex> = n!,\ n \geqslant 0, \,</tex>
# Связь чисел Эйлера I рода с числом сочетаний:
#:<tex>\sum\limits_{m=0}^n (-1)^m </tex><tex dpi=190>{\left\langle{n\atop m}\right\rangle}</tex> <tex>{n-1\choose m}^{-1}=0.</tex>
# Вероятность того, что сумма <tex>n</tex> независимых равномерно распределённых в отрезке <tex>[0,1]</tex> переменных лежит между <tex>m-1</tex> и <tex>m</tex> равна <tex>\dfrac{1}{n!}\left\langle{n\atop m}\right\rangle</tex>.
==Числа Эйлера II рода==
'''''Числа Эйлера II рода''''' (англ. ''Eulerian numbers of the second kind'') — количество перестановок мультимножества от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> вида <tex>\{1,1,2,2\ldots n,n\}</tex>, обладающих свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем <tex>z</tex>", таких, что в каждой из них существует ровно <tex>m</tex> подъемов. Числа Эйлера II рода обозначаются как <tex dpi = "190"> \scriptstyle \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle </tex>
'''Пример'''
Рассмотрим <tex> n = 3</tex>. Тогда существует <tex>15</tex> перестановок такого вида, среди которых одна не имеет подъемов, <tex>8</tex> штук имеют всего <tex>1</tex> подъем, и <tex>6</tex> перестановок имеют <tex>2</tex> подъема:
:<tex> 332211,\; </tex>
:<tex> 221[13]3,\; 22[13]31,\; 2[23]311,\; [23]3211,\; 1[13]322,\; [13]3221,\; 331[12]2,\; 33[12]21, </tex>
:<tex>1[12][23]3,\; [12]2[13]3,\; 1[123]32,\; [123]321,\; [13]3[12]2,\; [12][23]31. </tex>
{{Лемма
|statement=Количество перестановок мультимножества <tex>\{1,1,2,2\ldots n,n\}</tex> со свойством "все элементы перестановки, встречающиеся между двумя вхождниями <tex>z</tex> для любого <tex>z</tex>, больше, чем
<tex dpi="130">z</tex>" равно двойному факториалу <tex dpi="130">(2n-1)!!</tex>.
|proof = Докажем лемму методом математической индукции.
*'''База'''. Для <tex>n=1</tex> очевидно, что существует только одна такая перестановка.
*'''Переход'''. Рассмотрим какую-нибудь перестановку длины <tex>2n</tex>. Таких перестановок <tex>(2n-1)!!</tex>. Теперь докажем, что перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2(n+1)-1)!!</tex>. Попробуем вставить два числа <tex>n + 1</tex>. Очевидно, что их нельзя вставить не на соседние места, так как в таком случае между ними точно будут меньшие элементы. Но их можно вставить в любые два соседних места, так как они больше всех чисел в перестановке, а значит они не нарушат свойства для других элементов. Таким образом два новых элемента можно вставить в <tex>2n+1</tex> место. В итоге перестановок длины <tex>2(n+1)</tex> будет <tex>(2n-1)!!\cdot (2n+1)=(2n+1)!!=(2(n+1)-1)!!</tex>.
}}
===Рекуррентная формула===
Числа Эйлера II рода можно выразить рекурсивно следующим образом:
:<tex dpi=190> \left\langle \!\! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle</tex> <tex> = (2n-m-1) </tex> <tex dpi=180>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m-1} \right\rangle \!\! \right\rangle</tex> <tex> + (m+1) </tex> <tex dpi=190>\left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle, </tex>
С начальным условием для <tex>n = 0</tex>:
:<tex dpi=190> \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop m} \right\rangle \!\! \right\rangle</tex> <tex> = [m=0]. </tex>
===Треугольник чисел Эйлера II рода===
Значения чисел Эйлера II рода для <tex>0 \leqslant n \leqslant m \leqslant 9</tex> представлены в данном массиве. Нижнедиагональная его часть называется треугольником чисел Эйлера II рода.
:::{| class="number_triangle"
|- align="center"
| style="background:white; color:black; width:50px;" |
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''m = 0'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''1'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''2'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''3'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''4'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''5'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''6'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''7'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''8'''''
| style="background:white; color:black; width:50px;" | '''''9'''''
|- align="center"
| style="background:white; color:black;" | '''''n = 0'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
|- align="center"
| style="background:white; color:black;" | '''''101'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''10130'''| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''478400'''| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''4551920'''| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''13103540'''| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''13103540'''| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''4551920'''| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''478400'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''|- align="center"| style="background:white; color:black;" | '''1013''2'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
|- align="center"
| style="background:white; color:black;" | '''''113'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''20368''' | style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1526376'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''|- align="center"| style="background:white; color:black;" | '''''4'''''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''22'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''24'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''|- align="center"| style="background:white; color:black;" | '''2203488''5'''''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''97381141'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1572424852'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''9738114328'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''2203488444'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''152637120'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''|- align="center"| style="background:white; color:black;" | '''''6'''''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''20361'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''114'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1452'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4400'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3708'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''720'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''|- align="center"| style="background:white; color:black;" | '''''7'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''240'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5610'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''32120'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''58140'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''33984'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5040'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
|- align="center"
| style="background:white; color:black;" | '''''128'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''4083494''' | style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''47827119950'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''10187685195800'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''66318474644020'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286785304'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''162512286341136'''| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''6631847440320'''| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''101876850'''| style="background:#FFDEAD; color:blackred;" | '''4782710'''|- align="center"| style="background:#FFDEADwhite; color:black;" | '''4083''9'''''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1004'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''67260'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''1062500'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''5765500'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''12440064'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''11026296'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''3733920'''
| style="background:#FFDEAD; color:black;" | '''362880'''
| style="background:#FFDEAD; color:red;" | '''0'''
|}
