Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Числа Эйлера I и II рода

1548 байт убрано, 04:23, 5 января 2014
Нет описания правки
|}
===Явная формула===Воспользуемся для вывода треугольником, построенным с помощью рекурсивного варианта Явные формулы. Следует заметить, что первый элемент каждой <tex>n</tex>-той строки равен 1, а второй {{---}} <tex>2^{n} - (n + 1)</tex>. Третий выражается как:<tex>3^{n}-(n + 1)2^n + \frac{(n+1)n}{2};</tex> и так далее. Первые три элемента могут быть записаны в форме::<tex>\left\langle{n\atop 0}\right\rangle = {{n + 1} \choose {0}}1^{n}</tex>:<tex>\left\langle{n\atop 1}\right\rangle = - {{n + 1} \choose {1}}1^{n} + {{n + 1} \choose {0}}2^{n} </tex>:<tex>\left\langle{n\atop 2}\right\rangle = {{n + 1} \choose {2}}1^{n} - {{n + 1} \choose {1}}2^{n} + {{n + 1} \choose {0}}3^{n} </tex> Тогда нетрудно проверить (по индукции), что эта сумма продолжается именно таким образом и, следовательно, мы можем обобщить ее в "строгом виде" как:
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=1}^{m+1} (-1)^{m-j+1} {n+1\choose m-j+1}j^{n}</tex>
 
Существует также иная широко используемая явная формула:
:<tex>\left\langle{n\atop m}\right\rangle = \sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^j {n+1\choose j} (m+1-j)^n</tex>
 
Убедимся в верности формул:
:<tex>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = (-1)^{1-1+1} {4 \choose 1}1^3 + (-1)^(1-2+1) {4 \choose 0} 2^3 = -4+8 = 4;</tex>
:<tex>\left\langle{3\atop 1}\right\rangle = {4 \choose 0}(1+1-0)^3 - {4 \choose 1}(1+1-1)^3 = 1*8-4*1 = 4;</tex>
===Связь чисел Эйлера I рода с сечениями гиперкубов===
85
правок

Навигация