В задачах [[Задача_многокритериальной_оптимизации._Multiobjectivization|многокритериальной оптимизации]] встает проблема сравнения множеств решений. Данную проблему обычно решают введением функции, которая сопоставляет множеству решений вещественное значение. Такие функции называются индикаторами.
= Применение =
В работе <ref>[ftp://ife.ee.ethz.ch/pub/people/zitzler/ZK2004a.pdf Kunzli S., Zitzle E. — Indicator-Based Selection in Multiobjective Search]</ref> предлагают с помощью индикатора <tex>I</tex> ввести следующую функцию приспособленности:
<tex>F(x_1)= \sum \limits_{x_2 \in P \setminus \{ x_1 \}} -e^{-I(x_2,x_1)/k}</tex>, где <tex>P = \{x_i\}</tex> — популяция, <tex>k</tex> — некая константа, зависящая от текущей задачи. Данная функция приспособленности колличественно измеряет потери в качестве поколения при удалении особи.
Для пересчета значений функции приспособленности при удалении особи <tex>x^*</tex> из поколения достаточно выполнения следующего условия:
<tex>\forall x \in P \setminus \{x*\} :F(x) = F(x) + e^{-I(x^*,x)/k}</tex>
В работе <ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2008PPSN_IBEA.pdf Brockhoff D., Friedrich T., Neumann F. — Analyzing Hypervolume Indicator Based Algorithms]</ref> детально рассматривается применение [[#definition2|индикатора гиперобъема]] в эволюционных алгоритмах.
= Основные определения =
Рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=b</tex>.Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>. Введем несколько понятий.== Аппроксимация функции Гиперобъем ==
{{Определение
|id=definition1
|about=1
|definition=Множество Индикатор называется оптимальным по Парето(Pareto-compliant), если для любых двух множеств решений <tex>\mathrm{X=\{x_1,x_2, \ldots , x_n\}}A</tex> и <tex>B</tex> называется значение индикатора для <tex>\alphaA</tex>-аппроксимацией функции больше значения индикатора для <tex>f \in \mathbb{F}B</tex>тогда и только тогда, есликогда <tex>A</tex>\mathrm{\forall x \in [a,A[Задача_многокритериальной_оптимизации._Multiobjectivization#section=3|доминирует]] \exists x_i \in X : (x \leq \alpha x_i) \bigwedge (f(x) \leq \alpha f(x_i))}<tex>B</tex>.
}}
Множество всех множеств решений обозначим через <tex>\mathbb{X}</tex>.
== Коэффициент аппроксимации ==Дадим определение индикатора гиперобъема<ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2010GECCO_Hyp.pdf Friedrich T., Bringmann K. — The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximatio]</ref><tex>\left(HYP\right)</tex>.
{{Определение
|id=definition2
|about=2
|definition=Коэффициентом аппроксимации Пусть дано множество решений <tex>\mathrm{X \subseteq \mathbb{R}^d}</tex>. Пусть также множество всех решений усечено некоторой точкой <tex>\mathrm{r = \left(r_1, r_2, \ldots, r_d \right)}</tex>. Тогда<tex>\mathrm{HYP\left(X\right)=VOL\left( \bigcup\limits_{\left(x_1, x_2, \ldots, x_d \right) \in X} \left[ r_1, x_1\right] \times \left[ r_2, x_2\right] \times \cdots \times \left[ r_d, x_d\right] \right)}</tex>, где через <tex>VOL(X)</tex> обозначена мера множества <tex>X</tex> [[Мера_Лебега_в_R%5En|по Лебегу]].}} Например, пусть <tex>\mathrm{r = \left(r_1\right)}</tex> и <tex>d=1</tex>, тогда <tex>HYP(X) = \prod \limits_{x_i \in X} (x_i-r_1)</tex>. Для задач двукритериальной оптимизацйии будем рассмотрим функции вида: <tex>f:[a,A] \rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>f(a)=B, f(A)=b</tex>. Множество всех таких функций обозначим через <tex>\mathbb{F}</tex>. Множество всех множеств решений обозначим через <tex>\mathbb{X}</tex>. {{Утверждение|id=statement1|about=1|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \in \mathbb{N}</tex>, тогда существует, не обязательно единственное, множество решений <tex>X \in \mathbb{X}</tex>, которое максимизирует значение <tex>HYP(X)</tex> на <tex>\mathbb{X}</tex> называется .|proof= <tex>X=\mathrm{x_1, x_2, \ldots,x_n\}</tex> Пусть нижняя граница <tex>r=(R_x, R_y)</tex>. <tex>HYP(X)=\sum\alpha limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(f(x_i) - r)</tex>, где <tex>x_0 = R_x</tex>. Рассмотрим ряд множеств решений <tex>\{X^i\}: \lim\limits_{i \rightarrow \infty} (X^i) = inf X</tex>. <tex>\lim\limits_{j \alpha | rightarrow \infty} HYP(X^j) = \lim\limits_{i \rightarrow \infty} — \alphasum\limits_{i = 1}^{n} (x_i^j-x_{i-1}^j)(f(x_i^j) - r) =</tex>-аппроксимация <tex>= \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(\lim\limits_{i \rightarrow \infty} f (x_i^j) - r) = \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(f(x_i) - r) = HYP(X)</tex> Получается, что <tex>HYP(X)</tex> — [[Wikipedia:Semi-continuity|полунепрерывна сверху]], следовательно, экстремум <tex>HYP</tex> достигается на компакте.
}}
= Аппроксимация функции и ее свойства =
{{Определение
|id=definition3
|about=3
|definition=Множество решений <tex>\mathrm{X=\{x_1,x_2, \ldots , x_n\}}</tex> называется <tex>\alpha</tex>-аппроксимацией функции <tex>f \in \mathbb{F}</tex>, если
<tex>\mathrm{\forall x \in [a,A] \; \exists x_i \in X : (x \leq \alpha x_i) \bigwedge (f(x) \leq \alpha f(x_i))}</tex>.
}}
{{Определение
|id=definition4
|about=4
|definition=Коэффициентом аппроксимации функции <tex>f</tex> на <tex>X</tex> называется
<tex>\mathrm{\alpha (f, X) = inf \{\alpha | X} - \alpha</tex>-аппроксимация <tex>f \}</tex>.
}}
{{Определение
|id=definition5
|about=5
|definition=Оптимальный коэффициент аппроксимации <tex>\alpha_{opt} = \sup \limits_{f \in \mathbb{F}} \inf \limits_{X \in \mathbb{X}} \alpha (f, X)</tex>.
}}
{{Утверждение
|id=statement1statement2|about=12
|statement=<tex>\alpha_{opt} \leq (\frac{A}{a})^{\frac{1}{n}}</tex>
|proof=
Рассмотрим <tex>\alpha = (\frac{A}{a})^{\frac{1}{n}}</tex>, тогда <tex>x_i=a \alpha^{i-1}(i=1 \ldots n)</tex>.
<tex>\{x_i\}</tex> — <tex>\alpha</tex>-аппроксимация, т.к. <tex>\forall x \in [x_i, x_{i+1}]: f(x) \leq \alpha f(x_i)</tex>.
Следовательно, <tex>\alpha_{opt} \leq \alpha</tex>.
{{Утверждение
|id=statement2statement3|about=24
|statement=<tex>\alpha_{opt} \leq (\frac{B}{b})^{\frac{1}{n}}</tex>
|proof=
Рассмотрим <tex>\alpha = (\frac{B}{b})^{\frac{1}{n}}</tex> и <tex>x_i=f^{-1}(B \alpha^{-i})\; (i=1 \ldots n)</tex>.
Тогда <tex>f(x_i) \geq B \alpha^{-i}</tex>.
Следовательно, <tex>\not \exists \; x: f(x_i)>f(x)>B \alpha^{-1}</tex>.
Таким образом, <tex>\{x_i\}</tex> — <tex>\alpha</tex>-аппроксимация, так как <tex>B \alpha^{-i} \leq f(x) \leq B \alpha^{-i+1}</tex>.
}}
Получили <tex>\alpha_{opt} \geq min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b})^{\frac{1}{n}}</tex>.
Пусть <tex>\forall i \in \{0, 1, \ldots, n\} \; f(x)=B(B/b)^{-i/n}</tex> на интервале <tex>(a(A/a)^{(i-1)/n}, a(A/a)^{i/n}]</tex>.
Теперь <tex>f</tex> — это фронт Парето из <tex>n+1</tex> слоя. Предложим, множество решений <tex>\{x_1,x_2, \ldots , x_n\}</tex> из <tex>n</tex> точек. По принципу Дирихле получается, что хотя бы на одном уровне нет ни одного решения. Это означает, что верхняя граница этого уровня аппроксимируется значением <tex>\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b})^{\frac{1}{n}}</tex>.
{{Утверждение
|id=statement3statement4|about=35
|statement=
<tex>\forall n \geq \log (\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b})) / \varepsilon </tex>, где <tex>\varepsilon \in (0,1)</tex> выполняется:
'''Следствие:''' <tex>\alpha_{opt} = 1 + \Theta(1/n)</tex>.
= Заключение =
= Индикатор Гиперобъема =В данной статье было введено понятие [[#definition1|индикатора]] и его применимости. Также мы рассмотрели понятие [[#definition3|аппроксимации функции]] и доказали ее основные свойства.
Существует много различных индикаторов, с помощью которых численно оценивают качество решений. Но широко используется только один.{{Определение|id=definition4|about=4|definition=Индикатор называется эластичным по Парето(Pareto-compliant), если для любых двух множеств решений <tex>A</tex> и <tex>B</tex> значение индикатора для <tex>A</tex> больше значения индикатора для <tex>B</tex> тогда и только тогда, когда <tex>A</tex> В статье [[Задача_многокритериальной_оптимизации._Multiobjectivization#section=3|доминирует]] <tex>B</tex>. }} Дадим определение индикатора Связь между максимизацией гиперобъема<tex>\left(HYP\right)</tex>.{{Определение|id=definition5|about=5|definition=Пусть дано множество решений <tex>\mathrm{X \subseteq \mathbb{R}^d}</tex>. Пусть также множество всех решений усечено некоторой точкой <tex>\mathrm{r = \left(r_1, r_2, \ldots, r_d \right)}</tex>. Тогда<tex>\mathrm{HYP\left(X\right)=VOL\left( \bigcup\limits_{\left(x_1, x_2, \ldots, x_d \right) \in X} \left[ r_1, x_1\right] \times \left[ r_2, x_2\right] \times \cdots \times \left[ r_d, x_d\right] \right)}</tex>, где через <tex>VOL(X)</tex> обозначена мера множества <tex>X</tex> [[Мера_Лебега_в_R%5En|по Лебегу]].}} Например, пусть <tex>\mathrm{r = \left(r_1\right)}</tex> и <tex>d=1</tex>, тогда <tex>HYP(X) = \prod \limits_{x_i \in X} (x_iаппроксимацией Парето-r_1)</tex>. {{Утверждение|id=statement4|about=4|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \in \mathbb{N}</tex>, тогда существует, не обязательно единственное, множество решений <tex>X \in \mathbb{X}</tex>, которое максимизирует значение <tex>HYP(X)</tex> на <tex>\mathbb{X}</tex>.|proof= <tex>X=\{x_1, x_2, \ldots,x_n\}</tex> Пусть нижняя граница <tex>r=(R_x, R_y)</tex>. <tex>HYP(X)=\sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(f(x_i) - r)</tex>, где <tex>x_0 = R_x</tex>. Рассмотрим ряд множеств решений <tex>\{X^i\}: \lim\limits_{i \rightarrow \infty} (X^i) = X</tex>. <tex>\lim\limits_{j \rightarrow \infty} HYP(X^j) = \lim\limits_{i \rightarrow \infty} \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i^j-x_{i-1}^j)(f(x_i^j) - r) =</tex> <tex>= \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(\lim\limits_{i \rightarrow \infty} f(x_i^j) - r) = \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_i-x_{i-1})(f(x_i) - r) = HYP(X)</tex> Получается, что <tex>HYP(X)</tex> — верхняя полунепрерывная, следовательно, экстремум <tex>HYP</tex> достигается на компакте.}} {{Определение|id=definition6|about=6|definition=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \geq 3</tex> и <tex>X = \{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{X}</tex>. Наименьшим вкладом этого множества называется <tex>MinCon(X)= \min \limits_{2 \leq i \leq n-1} (x_i-x_{i-1})(f(x_i)- f(x_{i-1}))</tex>.}} {{Утверждение|id=statement5|about=5|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \geq 3</tex> и <tex>X = \{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{X}</tex>, тогда<tex>MinCon(X) \leq \frac{(x_n-x_1)(f(x_1)-f(x_n))}{(n-2)^2}</tex>.|proof=Пусть <tex>a_i=x_i-x_{i-1}</tex> <tex>\forall i \in [2,n]</tex> и <tex>b_i=f(x_i)-f(x_{i-1})</tex> <tex>\forall i \in [1,n-1фронта]</tex>.Подставив в [[#definition6|определение(6)]], получим: <tex>MinCon(X)= \min \limits_{2 \leq i \leq n-1} a_i b_i \Leftrightarrow a_i \geq MinCon(X) / b_i \forall i \in [2, n-1]</tex> <tex>\sum \limits_{i=2}^{n-1} MinCon(X) / b_i \leq \sum \limits_{i=2}^{n-1} a_i \leq \sum \limits_{i=2}^{n} a_i = \sum \limits_{i=2}^{n}x_i - \sum \limits_{i=1}^{n-1}x_i=x_n-x_1 </tex> Тогда <tex>MinCon(X) \leq \frac{x_n-x_1}{\sum \limits_{i=2}^{n-1}1/b_i}</tex>. Cреднее гармоническое меньше среднего арифметического, поэтому<tex>MinCon(X) \leq \frac{x_n-x_1}{\sum \limits_{i=2}^{n-1}1/b_i} \leq \frac{(x_n-x_1)\sum \limits_{i=2}^{n-1}b_i}{(n-2)^2} \leq \frac{(x_n-x_1)(f(x_1)-f(x_n))}{(n-2)^2}</tex>.}} {{Теорема|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n > 4</tex> и <tex>X = \{ x_1, \ldots, x_n \} \in \mathbb{X}</tex>. Тогда<tex>\alpha = 1 + \frac{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}{n-4}</tex>.|proof=Допустимпредставлено докательство того, что существует <tex>x</tex>, который не аппроксимируется для <tex>\alpha = 1 + \frac{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}{n-4}</tex>.Пусть <tex>x_i < x < x_i+1</tex>, тогда <tex>x > \alpha x_i, f(x) > \alpha f(x_{i+1})</tex>. Известно, что <tex>MinCon(X) \geq (x-x_i)(f(x)точек оптимальный коэффициент апроксимации для данного Парето-fфронта (x_{i+1}))</tex>. После подстановки получим <tex>MinCon(X) > (\alpha - 1)^2 x_i f(x__{i+1OPT})</tex> (1). Применив [[#statement5|утверждение(5)]]и верхняя граница коэффициента аппроксимации для множества, получим: <tex>\forall i \in [3, n-1]</tex> <tex>MinCon(X) \leq (x_i-x_1)(f(x_1)-f(x_i))/(i-2)^2 \leq x_iB/(i-2)^2</tex> (2) <tex>\forall i \in [1, n-3]</tex> <tex>MinCon(X) \leq (x_n-x_{i+1})(f(x_{i+1})-f(x_n))/(n-i-2)^2 \leq A f(x_{i+1})/(n-i-2)^2</tex> (3) Таким образом, <tex>(\alpha - 1)^2 x_i f(x_{i+1}) < \min \{\frac{x_iB}{(i-2)^2} ,\frac{A f(x_{i+1})}{(n-i-2)^2}\} \Leftrightarrow</tex> <tex>\alpha < 1 + \min \{\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} ,\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}</tex>. Т.к. <tex>\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2}</tex> монотонно убывает, а <tex>\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}</tex> монотонно возрастает, то максимальное максимизирующего значение <tex>\min \{\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} ,\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}</tex> достигается при равенстве обоих членов:индикатора гиперобъема <tex>\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} = \frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\} \Leftrightarrow i = 2 + \frac{(n-4)\sqrt{B/b}}{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}</tex>. Получим верхнюю оценку для <tex>\alpha</tex>: <tex>\alpha < 1 + \frac_{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}HYP}{n-4}</tex>. Вышесказанное верно для <tex>3 \leq i \leq n-3</tex>. Для <tex>i = 1, 2</tex> из (1) одинаковы и (3) следует, что равны <texmath>\alpha < 1 + \frac{\sqrt{A/a}}{n-i-2} \leq 1 + \frac{\sqrt{A/a}}{n-4}</tex>, что невозможно по условию теоремы. Для <tex>i = n-2, n-1</tex> по (1) и Theta (2) <tex>\alpha < 1 + \frac{ \sqrt{B/b} } {i-2} \leq 1 + \frac {\sqrt {B/b} } {n-4}) </texmath>, что тоже невозможно по условию теоремы. }}
= Источники =
# [http:<references//rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/4/2010GECCO_Hyp.pdf Friedrich T., Bringmann K. — The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation]# [http://rain.ifmo.ru/~tsarev/teaching/ea-2012/lectures/3/multiobjectivization.pdf Corne D., Knowles J., Watson R. — Reducing Local Optima in Single-Objective Problems by Multi-objectivization]# [http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2009GECCO.pdf Friedrich T., Horoba C., Neumann F. — Multiplicative Approximations and the Hypervolume Indicator]# [ftp://ife.ee.ethz.ch/pub/people/zitzler/ZK2004a.pdf Kunzli S., Zitzle E. — Indicator-Based Selection in Multiobjective Search]>
