Изменения
→Введение
=== Введение ===
Способ нахождения эйлерова цикла, описанный в данной статье, является примером применения эволюционных алгоритмов на практике. Мы опишем вариант построения, время работы которого <tex>O(m \cdot \log \, m )</tex><ref>Doerr B., Johannsen D. Adjacency List Matchings - An Ideal Genotype for Cycle Covers. Proceeding GECCO '07 Proceedings of the 9th annual conference on Genetic and evolutionary computation, 1203-1210 (2007)</ref> (до недавнего времени лучшим считался результат <tex>O(m^2 \cdot \log\,m)</tex>)<ref>B. Doerr, C. Klein, and T. Storch. Faster evolutionary algorithms by superior graph representation. In Proc. of the 2007 IEEE Symposium on Foundations of Computational Intelligence (FOCI), 245–250 (2007).</ref>. При этом оптимальный (не эволюционный) [[Алгоритм построения Эйлерова цикла|алгоритм]] работает за <tex>O(m)</tex>. Здесь и далее <tex>m</tex> — количество ребер в графе. Время работы эволюционных алгоритмов измеряется в количестве вычислений функции приспособленности, а время оптимального алгоритма — в элементарных операциях.
После обзора предыдущих методов опишем представление графа, затем то, как устроена функция приспособленности и операция мутации, а потом адаптируем RLS и (1+1) EA стратегии для нашего случая.
Эйлерову циклу, проходящему по ребрам (2, 6, 7, 4, 3, 8, 5, 1) будет соответстовать множество <tex>M</tex> такого вида:
<tex>M_a = {(b,ec); (ce,d)}</tex>
<tex>M_b = {(a,f)}</tex>
==== Стратегии RLS и (1+1) EA ====
Эволюционный алгоритм поиска эйлерова цикла в графе работает следующим образом. Размер популяции возьмем равным одному; представление графа, операция мутации и функция приспособленности будут такими, как описано выше. Начальное заполнение множества <tex>M</tex> можно сделать случаным образом или оставить пустым, на время работы алгоритма это не влияет.
Стратегия Randomized local search будет работать так: на каждом шаге к текущему индивиду (он один, так как в популяции только одна особь) применяется операция мутации. Если полученный индивид лучше текущего, он выбирается для дальнейшей работы, в противном случае ничего не происходит. Алгоритм работает до тех пор, пока функция приспособленности не минимизирована.
|statement=
Ожидаемое время работы эволюционного алгоритма поиска эйлерова цикла в графе по RLS будет:
<tex>O(\frac{\Delta(G)^2} {d(G)} \cdot m \cdot log \, m)</tex> для стратегии, ориентированной на вершины;
<tex>O(\Delta(G) \cdot m \cdot log \, m )</tex> для стратегии, ориентированной на ребра;
<tex>O(\delta d(G) \cdot m \cdot log \, m )</tex> для стратегии, ориентированной на пары.
|proof=Предположим, что значение функции приспособленности в данный момент <tex>k</tex>. Тогда путей не менее <tex>k/2</tex>. Если путь является циклом, то в нем есть хотя бы одна вершина, соединяющая данный путь с каким-то другим, то есть найдется пара <tex>(u, w)</tex>, к которой можно применить мутацию и уменьшить количество путей. Если путь не является циклом, то так же найдется пара, при применении к которой мутации либо уменьшится количество путей, либо путь замкнется в цикл. Количество мутаций, которые уменьшают функцию приспособленности <tex>\Omega(k)</tex>. Как следствие, вероятность выбрать подходящую пару <tex>\Omega(q \cdot k)</tex>, где <tex>q</tex> — вероятность выбрать подходящую пару. Поэтому ожидаемое время достижения улучшения будет <tex>O(\frac{1} {k \cdot q})</tex>. Изначально значение функции приспособленности не более <tex>2m</tex>. Суммируя по всем <tex>k</tex> без учета констант получаем:
Подствляя вместо <tex>q</tex> различные <tex>p</tex> для разных стратегий выбора пар вершин получаем требуемые оценки времени работы алгоритма.
}}
Для случая, когда <tex>M</tex> — разбиение графа на несколько циклов, время работы алгоритма для стратегии, ориентированной на ребра будет <tex>O(m \cdot log \, m )</tex>. Получить такое разбриение можно разбив вершины во всех списках смежности на пары случайным образом.
=== Литература ===
<references/>
