137
правок
Изменения
→Критерий эйлеровости
==Эйлеров путьОсновные определения==
{{Определение|definition=
'''Эйлеровым путем''' (англ. ''Eulerian path'') в графе называется [[Основные определения теории графов|путь]], который проходит по каждому ребру, причем ровно один раз.
}}
{{Определение|definition=
'''Эйлеров обход''' (англ. ''Eulerian circuit'') {{- --}} обход графа, посещающий эйлеров путь.
}}
{{Определение|definition=
'''Эйлеров цикл''' (англ. ''Eulerian cycle'') {{- --}} замкнутый эйлеров путь.
}}
}}
==Критерий эйлеровости==
{{Теорема
|id = eulerTheorem
|statement=
Для того, чтобы граф <tex>G = (V, E) </tex> был эйлеровым необходимо чтобы:
2. Все компоненты связности кроме, может быть одной, не содержали ребер.
|proof=
1. Допустим в графе существует вершина с нечетной степенью. Рассмотрим эйлеров обход графа. Заметим, что при попадании в вершину и при выходе из нее мы уменьшаем ее степень на два(помечаем уже пройденые ребра), если эта вершина не является стартовой(она же конечная для цикла). Для стартовой(конечной) вершины мы уменьшаем ее степень на один в начале обхода эйлерова цикла, и на один при завершении. Следовательно вершин с нечетной степенью быть не может. Наше предположение неверно.
2. Если в графе существует более одной компоненты связности с ребрами, то очевидно, что нельзя пройти по их ребрам одним путем.
}}
{{Теорема
Рассмотрим связный граф <tex>G = (V, E)</tex> с <tex>n > 0</tex> вершинами, степени которых четны.
Рассмотрим какую - либо компоненту связности <tex>G'</tex>. Поскольку рассматриваемая компонента связности <tex>G'</tex> имеет менее, чем <tex>n</tex> вершин, а у каждой вершины графа <tex>G'</tex> чётная степень, то у каждой компоненты связности <tex>G'</tex> существует эйлеров цикл. Пусть для рассматриваемой компоненты связноти это цикл <tex>C_2</tex>. У <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> имеется общая вершина <tex>a</tex>, так как <tex>G</tex> cвязен. Теперь можно обойти эйлеров цикл, начиная его в вершине <tex>a</tex>, обойти <tex>C_1</tex> , вернуться в <tex>a</tex>, затем пройти <tex>C_2</tex> и вернуться в <tex>a</tex>. Если новый эйлеров цикл не является эйлеровым циклом для <tex>G</tex>, продолжаем использовать этот процесс, расширяя наш эйлеров цикл, пока, в конце концов, не получим эйлеров цикл для <tex>G</tex>.
}}
{{Теорема'''Следствие:'''|about=следствие|statement=
В графе <tex>G = (V, E) </tex> существует эйлеров путь тогда и только тогда, когда:
1. Количество вершин с нечетной степенью меньше или равно двум.
2. Все компоненты связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
Добавим ребро, соединяющее вершины с нечетной степенью. Теперь можно найти эйлеров цикл, после чего удалить добавленное ребро. Очевидно найденный цикл станет путем.
}}
====[[Основные определения теории графов|Ориентированный граф]]====
}}
2. Все компоненты слабой связности кроме, может быть одной, не содержат ребер.
|proof=Соединим ориентированным ребром вершину с большей входящей степенью с вершиной с большей исходящей степенью. Теперь можно найти эйлеров цикл, после чего удалить добавленное ребро. Очевидно найденный цикл станет путем.
}}
==Источники== * Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977. ==См. Такжеинформации==
* Ф.Харари Теория графов. Глава 7. Обходы графов. Эйлеровы графы.
* Уилсон Р. Введение в теорию графов. {{---}} М.: Мир, 1977
* [http://e-maxx.ru/algo/euler_path Нахождение эйлерова пути]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Эйлеровы графы]]
